考虑投资收益和干扰因素的双二项风险模型

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1、考虑投资收益和干扰因素的双二项风险模型　　中图分类号：F83　　文献标识码：A　　：1672―3198（2014）21―0117―02　　0引言　　破产概率在保险公司众多数据中，可视为评估风险大小的重要参数，因此学术界对其的研究也在持续升温和发展.众多学者为了建立更贴合实际情况的风险模型对经典破产模型进行更深入的研究，对其进行大量的拓广。在保险公司的实际营运过程中，保险公司的经营者为降低破产的风险，往往会将初始资本金和单位时间内收到的保费进行整合用来作为其他投资的本金.本文在固定利率下，考虑随机因素的干扰和投资对破产问题的

2、影响并且假设模型中保单数和索赔次数都是服从二项分布的，得到此模型的调节系数和破产概率。　　1模型的建立　　定义1：设u>0，c>0在给定的完备的概率空间（Ω，F，P），定义保险公司在时刻n的盈余为：　　U（n）=（u+cM（n））（1+i）+F（nj-i）-∑N（n）k=1Xk+σB（n）　　其中，u表示保险公司的初始资本金，c表示每张保单收取的保费，u>0，c>0，u，c为常数，i表示固定的常数利率，j表示单位时间区间内的投资收益率，M（n）表示在n>0时间内收到的保单数，N（n）表示在（0，n]时间内产生的总索赔次数，

3、Xk表示第k次的索赔额，随机因素的干扰为B（n）。　　结合保险公司的实际经营情况，对上述模型做以下假设：　　（1）X={Xk，k≥1}的均值为μ，方差为δ，是取值在（0，+∞）上的独立同分布的随机变量序列；　　（2）二项分布M={M（n），n≥0}是服从参数（n，p1）的；　　（3）二项分布N={N（n），n≥0}是服从参数（n，p2）的；　　（4）标准布朗运动B={B（n），n≥0}，表示保险公司各种不确定因素，例如保险公司不稳定的收入及各种随时出现的付款，σ>0且为常数；　　（5）假设X，M，N，B相互独立；　　（6）

4、F是综合考虑各项因素用于投资的金额，例如根据初始资本金的大小、单位时间内收取的保费以及预测将要产生的索赔额的大小而设定的。　　记S（n）=cM（n）（1+i）+Fnj-∑N（n）k=1Xk+σB（n），则U（n）=u+（u-F）i+S（n）。　　为保证保险公司能够正常经营不至于破产发生，结合模型，如果我们假定单位时间内平均收益大于平均理赔，这在理论上我们可以认为保险公司破产不会发生.在考虑投资收益和固定利率的情况下，如果盈余为负那么我们理论上说破产产生了，因此我们通常假设E[S（n）]>0.　　定义破产时刻：T=inf{n

5、：U（n）　　2模型的相关性质　　性质1盈余过程{U（n），n≥0}具有独立平稳增量性。　　证明：令0≤n0≤n1≤…≤nk≤…，则　　U（nm）-U（nm-1）=[（u+cM（nm））（1+i）+F（nmj-i）-∑N（nm）k=1Xk+σB（nm）]-[（u+cM（nm-1））（1+i）+F（nm-1j-i）-∑N（nm-1）k=1Xk-1+σB（nm-1）]=（M（nm）-M（nm-1））（1+i）+F（nm-nm-1）j-（∑N（nm）k=1Xk-∑N（nm-1）k=1Xk）+σ（B（nm）-B（nm-1））　　由

6、于　　M（n2）-M（n1），M（n3）-M（n2），…，M（nk）-M（nk-1）　　B（n2）-B（n1），B（n3）-B（n2），…，B（nk）-B（nk-1）　　XN（n2）-XN（n1），XN（n3）-XN（n2），…，XN（nk）-XN（nk-1）　　都是相互独立的，所以U（nm）-U（nm-1）是相互独立的，因此{U（n），n≥0}是独立增量过程。所以得到{U（n），n≥0}具有平稳独立增量性。　　性质2E[U（n）]=u（1+i）+c（1+i）np1+F（j-i）-μnp2　　证明：E[U（n）]=E[（u

7、+cM（n））（1+i）+F（nj-i）-∑N（n）k=1Xk+σB（n）]=E[（u+cM（n））（1+i）]+E[F（nj-i）]-E[∑N（n）k=1Xk]+E[σB（n）]=u（1+i）+c（1+i）np1+F（j-i）-μnp2　　3主要结果　　定理3.1对于保险公司营运盈余总额{S（n），n≥0}，存在一个函数g（r），使得　　E[exp（-rS（n））]=eng（r），并且方程g（r）=0内存在唯一正解R，称为调节系数.　　证明：　　E[e-rS（n）]=E{exp[-r（cM（n）（1+i）-∑N（n）k=

8、1Xk+σB（n）+Fnj]}=E{exp[-rc（1+i）M（n）]}?E[exp（-rFnj）]?E[exp（r∑N（n）k=1Xk）]?E[exp（-rσB（n））]=（p1e-rc（1+i）+q1）n?exp（-rFnj）?（p2MX（r）+q2）n?exp（12r2σ2n）=exp{nln（p