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《广东省揭东县地都中学高一数学竞赛试题》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、广东省揭东县地都中学高一数学竞赛试题本卷满分为1考试时间为100分钟一、选择题:本大题共8小题,每小题6分,共48分。1.已知集合,集合,映射表示把集合中的元素映射到集合中仍为,则以为坐标的点组成的集合有元素()个A.2B.4C.6D.82为△的边的中点,为△内一点,且满足,,则()A.B.C.D.3.设a,b是夹角为30°的异面直线,则满足条件“,,且”的平面,()A.不存在B.有且只有一对C.有且只有两对D.有无数对4.已知是函数的一个零点,是函数的一个零点,则的值为()A.1B.C.D.40165.函数的定义域为D,若满足①
2、在D内是单调函数,②存在使在上的值域为,那么就称为“好函数”。现有是“好函数”,则的取值范围是()A.B.C.D.6.若,则等于( )A.B.C.D.7.如图,一个棱长为的立方体内有1个大球和8个小球,大球与立方体的六个面都相切,每个小球与大球外切且与共顶点的三个面也相切,现在把立方体的每个角都截去一个三棱锥,截面都为正三角形并与小球相切,变成一个新的立体图形,则原立方体的每条棱还剩余( )。A.B.C.D.8.若为完全平方数,则正整数n满足()A.B.C.D.二、填空题:本大题共4小题,每小题6分,共24分。9.已知当时,函
3、数取最大值,则函数图象的一条对称轴为.10.已知向量满足,若,则.11.如图是一个长方体ABCD-A1B1C1D1截去几个角后的多面体的三视图,在这个多面体中,AB=4,BC=6,CC1=3.则这个多面体的体积为.12.把一根长为7米的铁丝截下两段(也可以直接截成两段),这两段的长度差不超过1米,分别以这两段为圆的周长围成两个圆,则这两个圆的面积之和的最大值为 三、解答题:本大题共4小题,共54分。13.(本大题满分10分).能否将下列数组中的数填入3×3的方格表,每个小方格中填一个数,使得每行、每列、两条对角线上的3个数的乘积
4、都相等?若能,请给出一种填法;若不能,请给予证明.(Ⅰ)2,4,6,8,12,18,24,36,48;(Ⅱ)2,4,6,8,12,18,24,36,72.14.(本大题满分10分)已知定义域为R的函数是奇函数,求的值。15.(本小题12分)已知函数.(1)求函数单调递增区间;(2)若,不等式的解集为B,,求实数的取值范围。16.(本小题满分16分)设,若,,.(1)求证:方程在区间(0,1)内有两个不等的实数根;(2)若都为正整数,求的最小值。地都中学高一数学竞赛试题(解答)本卷满分为1考试时间为100分钟1.已知集合,集合,映射
5、表示把集合中的元素映射到集合中仍为,则以为坐标的点组成的集合有元素(C)个A.2B.4C.6D.8【分析】显然,∴有6组解,6个元素。2.设为△的边的中点,为△内一点,且满足,,则(C)A.B.C.D.【分析】如图∴四边形DPEB为平行四边形,,选C。3.设a,b是夹角为30°的异面直线,则满足条件“,,且”的平面,答:[D]A.不存在B.有且只有一对C.有且只有两对D.有无数对解任作a的平面,可以作无数个.在b上任取一点M,过M作的垂线.b与垂线确定的平面垂直于.选D4.已知当时,函数取最大值,则函数图象的一条对称轴为(A)A.
6、B.C.D.【分析】∵当时,函数取最大值,∴解得:,∴,∴是它的一条对称轴,选A。4.已知是函数的一个零点,是函数的一个零点,则的值为(B)A.1B.C.D.4016【分析】如图:是曲线与曲线交点A的横坐标,是曲线与曲线交点B的横坐标,∵函数与互为反函数,∴A与B关于直线y=x对称即为点A的纵坐标,∴,选B5.函数的定义域为D,若满足①在D内是单调函数,②存在使在上的值域为,那么就称为“好函数”。现有是“好函数”,则的取值范围是(C)A.B.C.D.【分析】因为函数在其定义域内为增函数,则若函数为“好函数”,方程必有两个不同实数根
7、,∵,∴方程有两个不同的正数根,选C。6.若,则等于( )A.B.C.D.解:7.如图,一个棱长为的立方体内有1个大球和8个小球,大球与立方体的六个面都相切,每个小球与大球外切且与共顶点的三个面也相切,现在把立方体的每个角都截去一个三棱锥,截面都为正三角形并与小球相切,变成一个新的立体图形,则原立方体的每条棱还剩余(D)A.B.C.D.【分析】大球的半径为,设小球的半径,则设小球切截面CDE于F,则设,利用等积法求得,所以选D。8.若为完全平方数,则正整数n满足()A.B.C.D.【分析】∵,当,即时,上式为完全平方数。当时,有
8、,所以上式不可能为完全平方数。选B二、填空题:本大题共6小题,每小题8分,共48分。9.已知当时,函数取最大值,则函数图象的一条对称轴为【分析】∵当时,函数取最大值,∴解得:,∴,∴是它的一条对称轴。10.已知向量满足,若,则.【分析】∵∴且,∴1