江苏省启东中学高二下学期期中考试（数学理）

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1、江苏省启东中学高二下学期期中考试（数学理）一、填空题：（70分）1.“因为四边形ABCD是菱形，所以四边形ABCD的对角线互相垂直”，补充以上推理的大前提是。2.复数等于。3．已知点，，它们在面内的射影分别是，则。4．若，则____________5．若复数()是纯虚数，则=___.6．已知是复平面上两个定点，点在线段的垂直平分线上，根据复数的几何意义，则点所对应的复数满足的关系式为。7．在的展开式中有理项的项数共有项。8.若向量，且与的夹角余弦为，则等于_________________.9.用数学归纳法证明时，由的假设到证明时，等式左边应添加的式子是.10．

2、若，则的值为。11.6个相同的小球放入标号为1、2、3的3个小盒中，要求每盒不空，共有放法种数为。12．已知正四棱柱中，=，为中点，则异面直线与所形成角的余弦值为。13．下图的数表满足：①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似杨辉三角。则第n行第2个数是_________.14.若成等差数列，则有等式成立，类比上述性质，相应地：若成等比数列，则有等式___成立。1223434774511141156162525166（13题图）一、解答题：(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．（14分）已知a,b都是正数，求证：。16．

3、（14分）某校学生会有高一年级6人、高二年级5人、高三年级4人组成，（1）选其中一人为校学生会主席，则不同的选有多少种；（2）从3个年级中各选一个人出席一个会议，不同的选法有多少种；（3）选不同年级的两人参加市里组织的活动，则不同的选法为多少种17．（14分）已知数列满足，（1）求。（2）由（1）猜想的通项公式。（3）用数学归纳法证明（2）的结果。18．（16分）已知的展开式中前三项的系数成等差数列．（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）求展开式中系数最大的项．19．（16分）求同时满足下列条件的所有的复数z,①z+∈R,且1

4、四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，P为侧棱SD上的点。（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。参考答案1．菱形的对角线互相垂直。2.3.54.55．26.7.38.9．10.111.1012.13．,14.15略16．（1）15种。（2）1（3）74种。17．（1），，，（2）18．解：（Ⅰ）由题设，得，………………………………………………3分即，解得n＝8，n＝1（舍去）．……

5、………………………………………4分（Ⅱ）设第r＋1的系数最大，则……………………………………………6分即解得r＝2或r＝3．………………………………………………8分所以系数最大的项为，．………………………………………………10分19．设z=x+yi,(x,y∈R),则z+=x(1+)+y(1-)i.∵z+∈R,∴y(1-)=0.∴y=0,或x2+y2=10.又10时,x+≥2>6.故y=0时,①无解.7分2）当x2+y2=10时,①可化为1<2x≤6,即<

6、x≤3.∵x,y∈Z,故可得z=1+3i,或1-3i,或3+i,或3-i.。。。。。。。。。10分法一：（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意。在正方形ABCD中，，所以,得.(Ⅱ)设正方形边长，则。又，所以,连，由（Ⅰ）知,所以,且,所以是二面角的平面角。由,知,所以,即二面角的大小为。（Ⅲ）在棱SC上存在一点E，使由（Ⅱ）可得，故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点即为。连BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故.解法二：（Ⅰ）；连,设交于于，由题意知.以O为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图。设底面边长为，则高。于是故从而(Ⅱ)由题设知，

7、平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求二面角为，则,所求二面角的大小为（Ⅲ）在棱上存在一点使.由（Ⅱ）知是平面的一个法向量，且设则而即当时，而不在平面内，故