高考数学一轮复习 课时作业（七） 新课标

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1、课时作业(七)一、选择题1．函数y＝x2－1(x≤0)的反函数是(　　)A．y＝(x≥－1)　　　　B．y＝－(x≥－1)C．y＝(x≥0)D．y＝－(x≥0)答案　B解析　∵x≤0，∴x＝－，且y≥－1，∴f－1(x)＝－(x≥－1)，故选B.2．(08·北京卷)“函数f(x)(x∈R)存在反函数”是“函数f(x)在R上为增函数”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案　B解析　存在反函数的条件是一一对应，f(x)是R上的增函数，则必是一一对应，而一一对应的函数未

2、必是增函数，如f(x)＝.故选B.3．(·全国卷Ⅱ，文)函数y＝1＋ln(x－1)(x＞1)的反函数是(　　)A．y＝ex＋1－1(x＞0)B．y＝ex－1＋1(x＞0)C．y＝ex＋1－1(x∈R)D．y＝ex－1＋1(x∈R)答案　D解析　由y＝1＋ln(x－1)(x＞1)，得ey－1＝x－1，即x＝ey－1＋1，故所求反函数为y＝ex－1＋1(x∈R)．4．点(p，q)在函数y＝f(x)的图象上，则下列各点中必在其反函数图象上的是(　　)A．(p，f－1(p))　　　　B．(f－1(q)，q)C．(f－1(p)，

3、p)D．(q，f－1(q))答案　D5．(09·上海春季高考)函数y＝1＋(－1≤x≤0)的反函数的图象是(　　)答案　C解析　由－1≤x≤0得y＝1＋∈[1,2]，因此函数y＝1＋(－1≤x≤0)的反函数的定义域是[1,2]，值域是[－1,0]，结合所给选项可知选C.(注：也可先求出该函数的反函数，然后结合选项确定答案．)6．(·江西卷，文)若函数y＝的图象关于直线y＝x对称，则a为(　　)A．1B．－1C．±1D．任意实数答案　B解析　若函数y＝f(x)＝的图象关于直线y＝x对称，则f(x)＝f－1(x)，易求得f

4、－1(x)＝，故a＝－1.7．函数y＝的反函数(　　)A．是奇函数，它在(0，＋∞)上是减函数B．是偶函数，它在(0，＋∞)上是减函数C．是奇函数，它在(0，＋∞)上是增函数D．是偶函数，它在(0，＋∞)上是增函数答案　C解析　函数与其反函数有相同的单调性和奇偶性，因此只须考查函数y＝的奇偶性与单调性，易知此函数是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，∴应选C.8．已知方程f(x)＝3－x仅有一解x1，方程f－1(x)＝3－x仅有一解x2，则x1＋x2的值为(　　)A．2B．3C．4D．5答案　B解析　f(x)与y＝3－

5、x的交点为(x1,3－x1)．则f－1(x)与y＝3－x的交点为(3－x1，x1)．而由条件知f－1(x)与y＝3－x交点为(x2,3－x2)，因此x2＝3－x1，故x1＋x2＝3.二、填空题9．(09·全国卷Ⅰ改编)已知函数f(x)的反函数为g(x)＝1＋2lgx(x>0)，求f(1)＋g(1)＝________.答案　2解析　令1＋2lgx＝1，得x＝1，∴f(1)＝1.又g(1)＝1＋2lg1＝1，∴f(1)＋g(1)＝2.10．设函数y＝4＋log2(x－1)(x≥3)，则其反函数的定义域为________．答

6、案　[5，＋∞)解析　∵x≥3，∴x－1≥2，∴log2(x－1)≥1，∴y＝4＋log2(x－1)≥5.11．(08·上海)若函数f(x)的反函数为f－1(x)＝x2(x>0)，则f(4)＝________.答案　2解析　设x2＝4，由x>0得x＝2，由f(x)与f－1(x)的关系知f(4)＝2.三、解答题12．给定实数a≠0且a≠1，设函数y＝(x∈R且x≠)，求证：(1)这个函数的图象自身关于直线y＝x对称；(2)经过这个函数图象上任意两个不同点的直线都不平行于x轴．思路点拨　(1)只要证明函数f(x)＝f－1(

7、x)即可；对于(2)设x1≠x2，只要证明y1≠y2就说明经过任意两点的直线都不平行于x轴．解析　(1)由y＝，得(ax－1)y＝x－1，解得x＝，y≠.所以函数y＝(x≠)的反函数为y＝(x≠)．故函数的图象关于直线y＝x对称．(2)设P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是函数图象上任意两个不同点，则x1≠x2，于是y1－y2＝－.因为x1≠x2，a≠1，(ax1－1)(ax2－1)≠0，所以y1≠y2.因此经过图象上任意两点所在直线不平行于x轴．13．(·上海春季高考)已知函数f(x)＝loga(8－2x)(a>

8、0，且a≠1)．(1)若函数f(x)＝反函数是其本身，求a的值；(2)当a>1时，求函数y＝f(x)＋f(－x)的最大值．解析　(1)函数f(x)的反函数f－1(x)＝log2(8－ax)，由题意可得loga(8－2x)＝log2(8－ax)，∴a＝2.(2)由题意可知8－2x>0，解得x<3则y＝f(x)＋f(－x)的定义域为(