高考数学复习点拨 正方体巧攻“关”

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1、正方体巧攻“关”正方体是一类特殊的几何体，其中蕴含着丰富的空间位置关系.因此，对于某些研究空间位置关系问题，可构造正方体，把点、线、面移植到正方体中去，用正方体来攻“关”，可使疑难问题迅速获解.下面就是典型的几例.一、位置关系的判断例1设是异面直线，则下列命题正确的是（）A.过不在的任意一点，可作一条直线和都相交B.过不在上的任意一点，可作一个平面与都平行C.过不在上的任意一点，可作一个平面和都垂直D.过不在上的任意一点，可作一条直线和都垂直分析：本题是关于异面直线的位置关系问题，同学们都知道，若体现异面直线的“异

2、面”特征，需有例1图一定的几何背景，又加之选项中大都涉及平行与垂直，故可考虑把置于正方体中来研究.解：如图，不妨以正方体中两条异面直线和为例，设对应直线，对应直线，点是上底面直线外的任意一点.下面用这个模型来检验上述四种说法的正确性.对于A项，假如过一条直线和相交，则这条直线一定在上底面内，它无法和相交，故A项错误；对于B项，假如过可作一个平面与都平行，则这个平面和、都平行，即和上底面平行，这显然不可能，故B项错误；对于C项，因为垂直于同一个平面的两条直线平行，这与是异面直线矛盾，故C项错误；对于D项，可过上任意一

3、点作的平行线，则和可确定一个平面，则过不在上的任意一点的垂直于这个平面的直线和都垂直，故D项正确.评注：有很多位置关系问题，尤其是一些比较抽象的位置关系问题，都可以构造正方体来判断，请同学们注意应用.二、位置关系的证明例2图1例2如图，在空间六边形（六个顶点没有任何五点共面）中，每相邻的两边互相垂直，边长均等于，并且．求证：平面平面．分析：空间六变形对于我们来说比较陌生，因此考虑把它置于一个我们比较熟悉的几何环境中去研究，综合分析题中空间六边形中的位置关系，不难发现正方体是一个理想的几何环境.证明：在面内分别经作及

4、的平行线相交于，在面内作及的平行线相交于，顺次相连．那么由相邻两边垂直及边长均为，可知构造几何体为正方体．如图2所示.例2图2在正方体中，∵，，∴平面平面．评注：把空间六边形置于正方体中，不但利于发现位置关系，而且便于证明.三、位置关系的探求例3若一个凸面体中有个面是直角三角形，则称这个面体的“直度”为，现有一个四棱锥.问：（1）它的直度的最大值是多少；（2）如果把两个互相垂直的平面叫做“正交面面对”，那么当这个四棱锥的直度取得最大值时，在它的侧面和底面共5个面中，有多少个“正交面面对”；例3图分析：求四棱锥直度的

5、最大值，即研究这个四棱锥的4个侧面中最多有多少个直角三角形，然后将个数代入直度的定义式即可求出最大值.若直接在四棱锥中研究，颇困难，因此我们考虑在垂直关系众多的正方体中，作出一个垂直关系尽可能多的四棱锥来研究本问题.解：（1）如图，在正方体中，作四棱锥.∵平面，平面，平面，∴、、和都是直角三角形，∴四棱锥四个侧面都是直角三角形．即四棱锥的5个面中最多有4个直角三角形，所以一个四棱锥直度的最大值是.（2）根据面面垂直的判定定理，可得在四棱锥中，“正交面面对”有：平面和平面、平面和平面、平面和平面、平面和平面、平面和平

6、面共5个.评注：本题若不借助正方体，将很难探求，利用正方体后探求这些位置关系不费吹灰之力，且十分明确自然.综上，正方体的确是一个“攻关”高手，你可要记得使用哟.