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时间:2018-05-03
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1、高中数学联合竞赛模拟试题四第一试一、选择题(每小题6分,共计36分)1.满足(an-1)(an+1+1)=0(n=1,2,3,……,99)的数列共有A.1个B.3个C.2100个D.无穷多个2.已知函数f(x)=x2-2ax+2a+4的定义域为R,值域为[1,+∞),则a的取值为A.区间[-1,3]B.区间(-∞,-1)∪(3,+∞)C.当x>-时,a≤;当x<-时,a≥D.集合{-1,3}AA'B'C'BC3.如图,五面体ABC-A'B'C'中,AB=A'B',则AA',BB',CC'共点的充要条件是A.BC∥B'C'且AC∥A'C'B.BC≠B'C'且AC≠A'C'C.AA'≠BB'
2、,且∠BAA'≠∠B'A'AD.面ABC与面A'B'C'不平行4.不同的四点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上,且满足x1+x4=x2+x3,则AD与BC的关系适合A.AD∥BCB.AD⊥BCC.AD与BC相交但不垂直D.不能确定,与四个点的坐标具体取值有关5.已知(1+xi)4n+2(x∈R,i2=-1)展开式中的实部是关于x的多项式,则此多项式的系数和为A.(-1)n22n+1B.0C.22n+1D.-22n+16.在双曲线xy=k(k≠0)的一支上任取三点A,B,C,则△ABC的形状为A.锐角三角形B.钝角
3、三角形C.直角三角形D.不能确定AA'B'C'BC二、填空题(每小题9分,共计54分)=___________.1.不等式的解集为___________.2.如图,直三棱柱ABC-A'B'C'中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=1,AA'=,连结A'B,A'C,则侧面A'BC与面A'AB所成角的正切值为___________.3.设f(x)在R上为增函数,若方程x+f(x)=m的解为p,则方程x+f-1(x)=m的解是___________.4.已知1+(m,n是正整数),则n≡___________(mod1999).5.有5个匣子,每个匣子有一把钥匙,并且钥匙不能通用,
4、如果随意在每一个匣子内放入一把钥匙,然后把匣子全部锁上,要求砸开一个匣子后,能相继用钥匙打开其余4个匣子,那么钥匙的放法有___________种.三、(若四面体相对棱中点的3条连线都相等,则这个四面体的对棱两两垂直。(已知直线l:y=kx+h(kh≠0)与x轴交于A点,与y轴交于B点,且与椭圆=1(a>b>0)没有公共点,求证:
5、AB
6、>a+b一、(已知a0,a1,a2,……,an为等差数列,f(x)=(b>0)求证:[f(x)]k[f(1-x)]n-k=a0f(1-x)+anf(x)第二试一、(50分)梯形ABCD中,CD∥AB,∠ABC与∠BAD均为锐角,连结对角线AC,BD,求证
7、:必可把△ABC分成四个互不重叠的三角形X1,X2,X3,X4,把△ABD也分成四个互不重叠的三角形Y1,Y2,Y3,Y4,使得Xi≌Yi(i=1,2,3,4)二、(50分)对于公差为d≠0的等差数列{an},求证:数列中不同两项之和仍是这个数列中一项的充要条件是:存在m≥-1,使a1=md.三、(50分)将直线上a+b+c个点中的a个点染成红色,b个点染成黄色,c个点染成蓝色,并使同色点互不相邻,其染色方法的种数记为F(a,b,c).显然有F(1,1,1)=6,F(a,b,a+b+2)=0,0当
8、a-b
9、>1时0当a>1时F(a,b,0)=1当
10、a-b
11、=1时F(a,0,0)=2当
12、a
13、-b
14、=0时1当a=1时⑴证明:对不全为1的正整数a,b,c,有递推式F(a,b,c)=F(a-1,b-1,c)+F(a-1,b,c-1)+F(a,b-1,c-1)+2F(a-1,b-1,c-1)⑵利用上述递推关系求解下题:书架上有3本不同的数学书,4本不同的物理书,5本不同的化学书,将它们全部竖起排成一行,如果要求同类的书本身互不相邻,一共有多少种不同的排法?
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