高考数学解题思想方法 待定系数法

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1、三、待定系数法要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法,其理论依据是多项式恒等,也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是:对于一个任意的a值,都有f(a)g(a);或者两个多项式各同类项的系数对应相等。待定系数法解题的关键是依据已知,正确列出等式或方程。使用待定系数法,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决,要判断一个问题是否用待定系数法求解,主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式,如果具有,就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、

2、解析几何中求曲线方程等,这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待定系数法求解。使用待定系数法,它解题的基本步骤是:第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式;第二步,根据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程;第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决。如何列出一组含待定系数的方程,主要从以下几方面着手分析:①利用对应系数相等列方程;②由恒等的概念用数值代入法列方程;③利用定义本身的属性列方程;④利用几何条件列方程。比如在求圆锥曲线的方程时,我们可以用待定系数法求方程:首先设所求方程的形式,其中含有待定的系数;再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组;最

3、后解所得的方程或方程组求出未知的系数,并把求出的系数代入已经明确的方程形式,得到所求圆锥曲线的方程。Ⅰ、再现性题组:1.设f(x)=+m,f(x)的反函数f(x)=nx-5,那么m、n的值依次为_____。A.,-2B.-,2C.,2D.-,-22.二次不等式ax+bx+2>0的解集是(-,),则a+b的值是_____。A.10B.-10C.14D.-143.在(1-x)(1+x)的展开式中,x的系数是_____。A.-297B.-252C.297D.4.函数y=a-bcos3x(b<0)的最大值为,最小值为-,则y=-4asin3bx的最小正周期是_____。5.与直线L:2

4、x+3y+5=0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________。6.与双曲线x-=1有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的方程是____________。【简解】1小题:由f(x)=+m求出f(x)=2x-2m,比较系数易求,选C;2小题:由不等式解集(-,),可知-、是方程ax+bx+2=0的两根,代入两根,列出关于系数a、b的方程组,易求得a+b,选D;3小题:分析x的系数由C与(-1)C两项组成,相加后得x的系数,选D;4小题:由已知最大值和最小值列出a、b的方程组求出a、b的值,再代入求得答案;5小题:设直线L’方程2x+3y+c=0,点A

5、(1,-4)代入求得C=10,即得2x+3y+10=0;6小题:设双曲线方程x-=λ,点(2,2)代入求得λ=3,即得方程-=1。Ⅱ、示范性题组:例1.已知函数y=的最大值为7,最小值为-1,求此函数式。【分析】求函数的表达式,实际上就是确定系数m、n的值;已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域,对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。【解】函数式变形为:(y-m)x-4x+(y-n)=0,x∈R,由已知得y-m≠0∴△=(-4)-4(y-m)(y-n)≥0即:y-(m+n)y+(mn-12)≤0①不等式①的解集为(-1,7),则-1、7是方程y-(m+

6、n)y+(mn-12)=0的两根,代入两根得:解得:或∴y=或者y=此题也可由解集(-1,7)而设(y+1)(y-7)≤0,即y-6y-7≤0,然后与不等式①比较系数而得:,解出m、n而求得函数式y。【注】在所求函数式中有两个系数m、n需要确定,首先用“判别式法”处理函数值域问题,得到了含参数m、n的关于y的一元二次不等式,且知道了它的解集,求参数m、n。两种方法可以求解,一是视为方程两根,代入后列出m、n的方程求解;二是由已知解集写出不等式,比较含参数的不等式而列出m、n的方程组求解。本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻,也要求理解求函数值域的“判别式法”:将y视为参数

7、,函数式化成含参数y的关于x的一元二次方程,可知其有解,利用△≥0,建立了关于参数y的不等式,解出y的范围就是值域,使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程。例2.设椭圆中心在(2,-1),它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直,且此焦点与长轴较近的端点距离是-,求椭圆的方程。yB’xAFO’F’A’B【分析】求椭圆方程,根据所给条件,确定几何数据a、b、c之值,问题就全部解决了。设a、b、c后,由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程,再将焦点与长轴较近端点的距离转化为a-c

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