浅谈离散数学中数理逻辑与集合论的数学本质

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1、浅谈离散数学中数理逻辑与集合论的数学本质浅谈离散数学中数理逻辑与集合论的数学本质　　离散数学本质上是一门数学课程，是学生数学知识结构和数学素质的重要组成部分。数学这门学科体系虽然很庞大，但大致可分为连续型、离散型和随机型这三大类。在大多数的理工科专业的课程设计中，数学类课程通常包括：高等数学、线性代数、离散数学、概率论与数理统计等。高等数学能提供处理连续型的数学问题需要的数学工具；线性代数与离散数学则提供处理离散型数学问题的数学工具；而概率与统计则提供处理随机型数学问题的数学工具。　　正如徐洁磐在文中指出的：作为计算机学科工具，离散建模是离散数学区别

2、高等数学的根本之处，也是离散数学与计算机紧密关联之处，也是使离散数学成为计算机专业核心课程的原因之一。从学生角度看，离散数学具有抽象、概念多、知识点零散等特点，在学习中容易遇到困难，极大地影响了他们学习的积极性。本文探讨离散数学中的数学本质，目的是理顺这些概念和知识点的关系，进而达到解决学生学习困难的目的。　　离散数学的内容主要包括数理逻辑、集合论、代数结构和图论四部分，其中集合论部分起着承前启后的作用。数理逻辑和集合论这两部分内容如果能处理得好，对整个课程的教学就会起到至关重要的作用。已有部分研究论文对数理逻辑和集合论的教学进行研讨，本文就数理逻辑

3、与集合论的教学内容进行深入分析，弄清它们的数学本质和相互联系，理清教学思路。教学实践表明，这些教学分析能使教师在讲授过程中教学内容主线清晰、教学目标明确，进而有效提高教学质量和学生的数学素质。　　一、数理逻辑部分的数学本质　　其一，命题逻本文由.L.收集整理辑部分的数学本质是逻辑数学化。　　在教学过程中，在引入命题逻辑的教学之前，可以让学生比较人与计算机各自的长处。大部分学生都能得出这样的结论：人长于智能而计算机长于计算。那么，要让计算机增长智能，主要方向就是把智能计算化：把通过智能思考的问题转化为通过计算进行判定的问题。而智能的基础是逻辑推理，于是

4、智能计算化首先就是要逻辑数学化。因此，数理逻辑是计算机的人工智能重要的基础之一。　　离散数学中命题逻辑这部分内容的数学本质是逻辑数学化，或者具体地说是逻辑代数化。代数方法的基本要素是对象和运算，代数化的基本过程模式是：符号化（对象）、运算、运算律、演算、标准型、应用。这种思想方法只要提醒学生回顾在中学学过的代数内容就能很快接受。再看命题逻辑这部分的教学内容，基本就是按照这样的模式展开的：命题符号化（对象）、逻辑运算（联结词）、运算律（基本等值式）、等值演算、标准型（范式）、应用（解判定问题、证明等值式、实际应用、推理理论等）。因而，命题逻辑这部分内容

5、的知识点并不零散，贯穿着代数化这条主线。　　教学实践表明，通过逻辑代数化这个主线串联命题逻辑这部分主要内容，教学目标清晰，能得到很好的教学效果；同时学生还能从中学习领会代数化的思想方法，提高了他们的数学素质和应用数学解决实际问题的能力。　　在命题逻辑的教学过程中，除了强调代数化的思想方法，还必须强调标准型（范式）是这部分的核心内容。一方面范式是等值演算的终极目标，另一方面范式是介于命题公式和真值表之间的桥梁，因此有着极高的理论与应用价值。　　其二，谓词逻辑部分的数学本质是引入变量与函数的思想。　　从数学本质上看，谓词逻辑就是把变量与函数的思想引入逻辑

6、。在这样的视觉下，那些基本概念就变得很清晰：个体变项是变量、谓词是函数、个体域是定义域、属性谓词是一元函数、关系谓词是多元函数...。然后再一次进行代数化过程：符号化（谓词）、运算（联结词）、运算律（主要增加了量词等值式）、等值演算、标准型（前束范式）、应用（判定问题、证明等值式、实际应用、谓词逻辑推理理论等）。　　当然，谓词逻辑内容远比命题逻辑深刻和复杂，在本科的离散数学中，这部分内容只能算是谓词逻辑的基础了。　　二、集合论部分的数学本质　　通常离散数学中集合论部分也包含两章：集合论基本概念、二元关系与函数。由于中学阶段已经有集合论的简单内容，所以

7、这部分内容学生并不会觉得陌生。　　集合论是整个数学的基石，几乎所有的数学概念都能用集合论语言表达，数学在集合论基础上形成了一个独立的科学体系。实际上从集合和二元关系这部分内容基本上也可以看出数学这个科学体系的构建过程。　　首先集合论这章内容也是一个代数化的过程：对象（集合）、运算（集合运算）、运算律（集合恒等式）、演算、应用（计数、证明恒等式、实际应用等）。这里缺少了一块标准型，实际上集合的演算也是可以有标准型的，只是这里的标准型没有逻辑演算的范式那么重要而已。从内容与结构都可以看出，集合论与命题逻辑这两部分内容有很大的相似性，这会在后文进行探讨。　

8、　有了集合这个基本语言，就可定义二元关系。接着是关系的运算与运算性质（这部分又是代数化方法）。然后是三种特殊