高考数学复习点拨 平行线是联系线面平行的纽带

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1、平行线是联系线面平行的纽带直线与平面、平面与平面平行的判定与性质中，都隐含着直线与直线的平行，它成为联系直线与平面、平面与平面平行的纽带，成为证明平行问题的关键．1．运用中点作平行线例1．已知四棱锥的底面是距形，Ｍ、Ｎ分别是ＡＤ、ＰＢ的中点，求证ＭＮ∥平面PCD．解题分析：要证明ＭＮ∥平面PCD，通常的方法是在平面PCD内找到一直线与MN平行；或者是过直线MN构造一平面与平面PCD平行．ACNPDMBG图1证法一．（如图1）取PC的中点G，又由于Ｍ、Ｎ分别是ＡＤ、ＰＢ的中点所以ＮＧ∥ＢＣ，且ＮＧ＝ＢＣ又底面ABCD为矩形所以ＤＭ∥ＢＣ且ＤＭ＝ＢＣ因此，ＤＭ∥ＮＧ且ＤＭ＝ＮＧ所

2、以，四边形ＭＮＧＤ是平行四边形ＭＮ∥ＤＧ　ＭＮ平面ＰＣＤＤＧ平面PCD因此，∥平面ＰＣＤACNPDMBG图2证法二．（如图2）取ＢＣ的中点Ｇ由于Ｍ、Ｎ分别是ＡＤ、ＰＢ的中点因此，ＮＧ∥ＰＣＮＧ平面ＰＣＤＰＣ平面ＰＣＤ　所以ＮＧ∥平面ＰＣＤ同理可证ＭＧ∥平面ＰＣＤ又所以平面ＭＮＧ∥平面PCD因此，ＭＮ∥平面PCD解题剖析：直线与平面平行的判断定理告诉我们，要证明线面平行，转化为证明线线平行，因此其关键是在平面内最为恰当的位置找出一条直线与该直线平行．此题不论从哪一个角度解答，其关键是抓住了中点，从而构造三角形的中位线使问题得到解决．　　2．运用比例作平行线　　例2．（如图3）四

3、边形ＡＢＣＤ与ＡＢＥＦ是两个全等正方形，且ＡＭ=ＦＮ，其中，，求证：ＭＮ∥平面BCE　　解题分析：要证明ＭＮ∥平面ＢＣＥ，由于在平面ＢＣＥ内不易找到与ＭＮ平行的直线，因此可以考虑构造过ＭＮ的平面与平面ＢＣＥ平行．证明：因为四边形ＡＢＣＤ与ＡＢＥＦ是两个全等正方形，且ＡＭ＝ＦＮ，　　所以ＣＭ＝ＢＮMFNCEADBH图3　　过点Ｎ作ＨＮ∥ＡＦ，连接ＭＨ，　　则有　　又ＦＮ＝ＡＭ，ＮＢ＝ＭＣ　　所以＝　　因此HＭ∥BC　　　ＨＭ平面ＢＣＥＣＢ平面BCE　　则有ＨＭ∥平面ＢＣＥ　　同理HN∥平面BCE　　又　　所以平面ＭＮＨ∥平面ＢＣＥ　　因此ＭＮ∥平面ＢＣＥ　　　　解题剖析：解答此

4、题的关键是运用比例构造平行线．但是证题时极易把Ｍ、Ｎ　　当作中点，而把ＭＮ看成是的中位线，得到ＭＮ∥ＣＥ的错误．　运用中点做平线线是运用比例作平行线的特殊情况．3运用传递性作平行线　　例3．求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线和它们的交线平行．图4　已知：（如图4）直线与平面、，有，且∥，∥，　　　　求证：∥证法一：设过直线的平面为、，且，　又因为∥，∥　根据直线与平面平行的性质定理有：　　∥，∥　　则有∥，又，　　所以∥　　显然又有经过直线的平面为，且　　根据直线与平面平行的性质定理有：　　　∥　　由上可知∥　　因此∥得证．解题剖析：在证题中两次运用了直线与平面平

5、行的性质定理，把线面平行转化为了线线平行，这在证题中是经常用到的作（找）平行线的方法．运用直线与平面平行的性质作平行线可以简述为：“过直线，作平面，找交线，则线线平行”．它揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，从而转化为直线与平面的平行，平面与平面的平行，同时也给出了一种作平行线的重要方法．　　４运用特殊位置作平行线　　例4．（如图5）正三棱柱ＡＢＣ－Ａ1Ｂ1Ｃ1的底面边长为2，点Ｅ、Ｆ分别是Ｃ1Ｃ、Ｂ1Ｂ上的点，点Ｍ是线段ＡＣ上的动点，ＥＣ＝2ＦＢ＝2．问当点Ｍ在何位置时ＭＢ∥平面ＡＥＦ？　　解题分析：此题是要在平面ＡＥＦ内找一直线与ＭＢ平行，经计算可得：ＡＦ＝ＥＦ

6、＝，于是考虑构造等腰ＡＥＦ与等边ＡＢＣ底边上的中线．　　解答：ABCEFNMB1A１C1图5取ＡＣ的中点Ｍ，ＡＥ的中点Ｎ，所以Ｎ为ＡＥ的中点　　　　因此ＭＮ∥ＥＣ　　　且又由ＦＢ∥ＥＣ且ＥＣ＝2ＦＢ＝2得　　所以ＭＮ∥ＦＢ，且ＭＮ＝ＦＢ因此，ＦＮ∥ＭＢ　　　ＦＮ平面ＡＥＦ　　　ＭＢ平面ＡＥＦ　　　所以ＭＢ∥平面ＡＥＦ　　因此当点Ｍ在ＡＣ的中点时，ＭＢ∥平面ＡＥＦ　　解题评注：这是一道较为简单的探索性题型，这里考虑了特殊位置较为简单的给出了平行线．在解题时需要有着较强的观察能力，简捷解题．　可见，应用线面平行与面面平行的判定与性质解题时，都要转化为线线平行的问题，通过观察图形根

7、据定理与题设产生平行线是解题的关键．在学习中我们要善于挖掘定理的隐藏条件，迅速确定解题方法．