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时间:2018-05-03
《高考数学复习点拨 转化思想在排列、组合中的应用》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、转化思想在排列、组合中的应用有些排列组合问题,直接考虑不易解决,分类讨论又十分麻烦,如果运用转化思想,转换角度,将其转化为等价的问题,不但能拓宽思路,还能避繁就简,化难为易.1.转换角色有些排列组合问题,从表面上看是可重复元素的问题,若交换元素与位置的关系,就可以化为相异元素的排列组合问题.例1有两个a,三个b,四个c共九个字母排成一排,有多少种排法?解析:若将字母作为元素,1~9号位置作为位子,那么这是一个可重复元素的排列问题,若转换角色,将1~9号位置作为元素,字母作为位子,那么问题便转化为相异元素的组合问题.易知共有种不同排法.2.减少位置通过减少位
2、置把问题固定,然后把减少的位置再插进固定的位置里.例2一排6把椅子上坐3人,每2人之间至少有一把空椅子,求共有多少种不同的坐法?解析:将问题转化为3个人坐5把椅子,然后插一把空椅子的问题.3个人若坐5把椅子,每2人之间有一把空椅子,有种坐法,然后将余下的那把椅子插入3个坐位产生的4个空中,有4种插法,所以共有种不同的坐法.3.以人换物把死位置换成活人,可以避免产生元素和位置混淆的现象,使问题形象化.例3从1,2,3,…,这两千个自然数中,取出10个互不相邻的自然数,有多少种方法?解析:将问题转化为10名女学生不相邻地插入站成一列横队的1990名男学生之间(
3、包括首尾两侧)有多少种方法?因为任意相邻2名男学生之间最多站1名女学生,队伍中的男学生首尾两侧最多也可各站1名女学生.于是,这就是1991个位置中任选10个位置的组合问题,故共有种方法.4.构造模型对于“至少一个”的组合问题,分类讨论十分麻烦,通过构造闸板模型将问题转化.例46人带10瓶汽水参加春游,每人至少带1瓶汽水,有多少种不同的带法?解析:将问题转化为10个相同的球放到6个不同的盒子里,每个盒子里至少放1个球,有多少种不同的放法?即把排成一行的10个1分成6份的方法数,这样用5块闸板插在9个间隔中,共有种.即原问题有126种不同的带法.5.等价转化将
4、原问题等价转化为另一问题,通过对新问题的研究达到解决原问题的目的.例5马路上有编号为1,2,3,…,8,9的九只路灯,为节约用电,可以把其中的三只路灯关掉,但不能同时关掉相邻的两只,也不能关掉两端的路灯,满足条件的关灯方法有多少种?解析:将问题转化为3个相同的黑球不相邻地插入6个相同的白球之间(不包括首尾两侧),有多少种方法?因为任意2个相邻白球之间最多插1个黑球,于是,这就是从5个位置中任选3个位置的组合问题,故共有种方法.所以,原题答案为10种方法.例6某人射击8枪,共命中4枪,并且这4枪中有且仅有3枪连中,那么对于该人射击8枪,按“中”与“不中”报告
5、结果,不同的结果共有多少种?解析:把问题转化为4个相同的黑球,其中3个黑球连在一起看成一个,不相邻地插入4个相同的白球之间(包括首尾两侧),有多少种方法?因为任意相邻2个白球之间最多插入一个黑球,于是,这就是将2个(三个连在一起的看成一个)黑球插入5个空位,有种方法.
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