北京远程教育网络教育学院高等代数作业(2012 年 秋 季 学 期 )数学答案

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1、高等代数作业解答（2012年秋季学期）第一章行列式1.教材习题1.4（2）第2题1.教材习题1.5第4(2)题计算下列行列式中所有元素的代数余子式之和解：除反对角线上的元素外，其余元素的代数余子式中都有一行或一列的元素全为0，故这些元素的代数余子式均为0。所以，D的全部元素的代数余子式之和，等于D的反对角线上元素的代数余子式之和：2.教材习题1.6第1(3)题第6题计算2n阶行列式D=解:D＝＝＝1.复习题1第4，6，7题第4题计算行列式D=解:===第6题-----计算n阶行列式D=解：＝（第n列分别加到第1列，第2列，至第列）＝（对第1列展

2、开）＝＝解法2：第7题：计算行列式第二章线性方程组1.教材习题2.11、用Cramer法则解下列线性方程组由此求得=-1,代入第1个方程,求得.再由第2个方程求得,由第3个方程求得,由第5个方程求得.1.教材习题2.2（1)1.解下列线性方程组(1)解:对方程组的增广矩阵进行初等行变换:=由这个约化梯阵,可得解:.1.教材习题2.5（2）第3题现证明由线性表出的表法唯一：用反证法。设表法不唯一，则可有两种不同的表达式及，将两式相减，得，但线性无关，则,即。所以，由线性表出的表法唯一。1.教材习题2.5（3）第4题5.教材习题2.7（1）第3题6

3、.教材习题2.7（2）第1题求下列齐次线性方程组的一个基础解系,并用基础解系表出方程组的全部解（2）解：对齐次方程组的系数矩阵进行初等行变换：同解方程组一般解：（为自由未知量）取得取得取得是齐次方程组的基础解系。齐次方程组的全部解为（）6.教材习题2.7（3）第2题线性方程组6.复习题2第1(1),2(1)，10题1.用基础解系表示出下列方程组的全部解（1）解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换于是，，则方程组的导出组的基础解系有两个独立解。原方程组的同解方程组：一般解为：（为自由未知量）取，得非齐次线性方程组的特解：导出组的一般解为取分别为（1

4、，0），（0，1）得导出组的基础解系：故方程组的全部解2、讨论 a,b取什么值时下列线性方程组有解，并在有解时求出全部解。.第10题证法2：已知向量组与向量组有相同的秩，即，且可由线性表出。欲证可由线性表出，为此，考虑向量组（I）因可由线性表出，那么向量组（I）可由线性表出。又因是向量组（I）的部分组，则可由向量组（I）线性表出。于是向量组（I）与等价，等价的向量组有相同的秩，从而。取向量组的极大线性无关组，则它也是向量组（I）的线性无关部分组。但向量组（I）的秩也为，那么从向量组（I）中任取一个向量，则，线性相关。因线性无关，故可由线性表出。

5、于是向量组（I）中的任一个向量均可由线性表出，由于与等价，所以向量组（I）可由线性表出，从而与向量组（I）等价的可由线性表出。于是向量组与向量组等价。第三章矩阵1.教材习题3.2第2题设,其中是阶方阵，求证：证：对子矩阵的个数S用数学归纳法：当S=2时，分别为阶，阶方阵由P54例6的证明，可知（其中均为0矩阵，）设S-1时，命题成立，即当时，有现证明，命题对S成立，此时记，其中则由P54例6，有所以第6题----设A，B都是n阶矩阵，试证：如果AB＝0，那么。证：设n阶矩阵A,B的秩分别为，并记。设B的列向量组为，则有，即（）故B的任何一个列向

6、量（）都是齐次方程组的解，都可由齐次方程组的基础解系线性表出，于是由此得。1.教材习题3.3第6题求满足下列条件的X（4）解：从矩阵乘法知，X应为的矩阵，（因不是方阵，此题不能用求逆的方法）设那么由得于是共有4个方程6个未知量，可得故（可任意取值）1.教材习题3.4第5（1）题求下列矩阵的逆矩阵解:因，则A可逆。为求的逆矩阵,考虑故4.习题3.5第9题求与向量组(1,0,1,1),(1,1,1,-1),(1,2,3,1)等价的正交单位向量组.解:记,,,分别取它们的前3个分量,得,,.由于,故线性无关.每个向量再加一个分量,它们仍线性无关,故线

7、性无关.下面用Schmidt正交化方法,求与等价的正交单位向量组.正交化---令=()再把单位化:=(),是与等价的正交单位向量组.5.复习题39.设A是一个n阶方阵，如果对于任一n维列向量X，都有，则。证法1：因为对于任一n维列向量X，都有，于是可取n个线性无关的n维列向量，每个都满足以为列向量组构成矩阵B，则因线性无关，故B可逆，于是由右乘，得证法2：既然对于任一n维列向量X，都有，不妨取n维基本向量组，则有故由得………………由得故A=0第10题----设是一个阶矩阵（），试证：解：当时，可逆，。因，两边取行列式，得，则有，故。当时，的非零

8、子式的最高阶数为，，从而这表明，的列向量组都是齐次方程组的解，故的列向量组可由的基础解系线性表出。的基础解系所含独立解的个数为，于是。但因的非零子式的