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《论张恨水对现代通俗小说艺术理论的贡献 (5000字)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§2函数逼近Ⅰ一些概念定义设P是一个数域，V是一个非空集合，在V上定义了两种运算：1.加法：对任意的元素，在V中有唯一的元素（记为）与之对应，满足且V中存在唯一的元素（称零元素，记为0），使得对每个存在唯一的元素（称为u的负元素记为-u）与之对应，满足2.数乘：对任意的和，在V中有唯一的元素（记为）与之对应，满足称V为一个数域P上的线性空间。定义设V是P上的线性空间，内积是VxV到数域P的一个映射，即对于V中的任意元素对和，有P中的唯一的一个数（记为（））与之对应，满足：则称为u与v的内积，定义了内积的线性空间V成为内积空间。3.设V是一个数域P上的线性空间。定义V到R的一个映射，即对任意的，
2、都有一个实数与之对应，满足以下性质。（1）正定性：22（2）齐次性：（3）三角不等式：称为V上的范数。定义了范数的线性空间称为赋范线性空间。例子1.设C[a,b]为定义在[a,b]上连续函数全体；Cn[a,b]为定义在[a,b]上有n阶连续导数的函数全体；那么C[a,b]，Cn[a,b]为线性空间（对线性运算封闭）。定义设[a,b]是有限或无限区间，如果[a,b]上函数满足如下性质：在的任一子区间上那么称为[a,b]上的权函数设，为上的权函数称为的内积。C[a,b]，采用上述内积就成内积空间；令：在C[a,b]上定义了这样的范数就成了赋范空间。（Ⅱ）正交多项式如果（f,g）=0，那么称与在上带
3、权函数正交。定义设函数序列满足那么称为正交函数序列，特别地，为首项系数的n次多项式，如果多项式序列满足22那么称多项式序列为上带权的正交多项式序列,称为上带权的ｎ次正交多项式。定义设为定义在上函数集合，如果有；那么称在上是线性无关的，反之称其为线性相关的。定理设为j次多项式，，那么是在任区间上是线性无关的。特别1，x，…，是任何区间上线性无关的。为给定区间，为上权函数，那么由可构造出正交多项式：，，，这样的正交多项式具有如下性质是最高项系数为1的n次多项式任何n次多项式都可以表示为，…，的线性组合当，递推关系，其中，，，22，对于一般正交多项式，我们给出重要性质定理设是上带权的正交多项式序列，
4、那么n次正交多项式在开区间（a,b）内恰有n个不同的实零点。证明设在内有奇数重零点，在（）处变号，令那么，在上不变号，因此如果，那么利用正交性有此式矛盾于，从而有（II）Legendre多项式区间，权函数的正交多项式称为Legendre多项式，其表达式为，正交性奇偶性递推关系，22其中（III）Chebyshev多项式区间[-1，1],权函数的正交多项式称为Chebyshev多项式，其表达式为,正交性奇偶性,递推关系,在（-1，1）内有n个不同的零点的首项系数为，（TV）Laguerre多项式区间[0，+∞]，的正交多项式称为Laguerre多项式，记为22,递推关系，（V）Hermite多项
5、式区间（-∞，∞），的正交多项式称为Hermite多项式，记为，，，，（Ⅲ）最佳平方逼近最佳平方逼近概念及计算设为[a,b]上的权函数，为定义在[a,b]上的实值函数，对于定义范数令。若，记为。设为上线性无关的函数，记，则取，有22。（7.1）定义7.1设，如果存在使得(7.2)则称为在中的最佳平方逼近函数。由（7.2）可以看出，求等价于求多元函数的极小值。是关于的二次函数。利用多元函数求极值的必要条件，有即于是有(7.3)其中，。（7.3）是关于的线性方程组，称为法方程。由于在上线性无关，所以（7.3）的系数矩阵非奇异，于是（7.3）有唯一解令(7.4)下面将证明满足（7.2），即对任意有2
6、2（7.5）因为为（7.3）的解，所以有。。由(7.1)知，对任意有，从而也有。因此对任意有这就证明了(7.5)，从而证明了在中最佳平方逼近的存在唯一性。令，称为最佳平方逼近的误差，容易得到。(7.6)考虑特殊情况，权函数。对于在中最佳平方逼近多项式可以表示为。相应于法方程（7.3）中系数矩阵为（7.7）其中。矩阵（7.7）称为Hilbert矩阵。由于Hilbert矩阵是病态的，因此直接从法方程来求解22是相当困难的。实用的方法是采用正交函数作的基。（II）用正交函数作最佳平方逼近设是中线性无关的函数。利用Gram-Schemidt方法可以得到正交函数组，即满足令利用（7.4）知，在中的最佳平
7、方逼近函数为。由此得。（7.8）22§3最小二乘法由观察得的一组离散数据……数据拟合的最小二乘法是：给定函数类Ψ，在Ψ上，根据数据作出逼近曲线使得，（II）多项式拟合定义设在m+1个节点上给定的离散函数，最小二乘法为求使其中为[a,b]上权函数，并假定，。称为f在m+1个节点上的最小二乘解。极小值必要条件为，22，为方便起见，1，k=0k=1…………k=n对i求和号展开有：k=0k=1……k=n令
