用临界状态思想解题

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1、用临界状态思想解题摘要数学是一门关于数量关系和空间形式的一门课，数学解题中常常遇到一些存在性、最值、不等式等问题。这种问题解法也不一而足，很多时候我们需要解方程，但往往方程计算复杂，很难求解，甚至有些方程几乎无法求解。鉴于此，本文给出一种避开方程求解的方法：临界状态。这种方法解题的优点是：计算量较小，甚至有的题目不需要计算，只需要根据图像判断变化趋势即可给出答案。所谓的临界状态可以简单叙述如下：现在有两个连续变化的量，在第一个状态两个变量，；第二个状态，且，则这两个变量从第一个状态变化到第二个状态的过程中必存在一个状态是。可以看出这一个

2、关于存在性的定理，所以在解决某些存在性问题常常发挥巨大作用。临界状态解题思想不仅在数学上而且在物理上也应用广泛。临界状态的本质是数学分析的介质定理，这个定理在中学阶段成为命题人的一个爱好，尤其是在高中考试（包括高考）选择填空的压轴题考的非常活跃，本文将临界状态思想的应用分为两种类型：类型一，主要解决一些存在性问题；类型二，解决一些不等式、最值等，（在有些题目中不能称之为解法，但可以验证答案的正确性。）本文涉及很多图像，这些图像都是用一款数学软件-几何画板画出来的。这也体现了以后教学发展一个潮流----教学和信息技术深度结合。关键词：临界

3、状态、解题、存在性、连续利用临界状态解题之类型一【2013年高考湖南卷理科7】已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于（　　）A．B．C．D．解析：这道题目的困难之处在于题目只告诉我们俯视图的面积，这样正视图的面积有无数种情况，而题目而要求的是不可能的情况。排除A，B两个选项较为容易，但是C，D选择正确的就有一定困难。我们用临界状态来考虑这个问题，正方体的俯视图面积是1，而正视图面积虽然在变化，但一定在一个区间内。所以我们考虑正视图的的最大值和最小值。其中，易知最大最小值的情形如下图：11图

4、一图二俯视图的面积是1，这就证明这个正方体是水平放置的，但是这个正方体可以绕一条竖直的线旋转。在旋转的过程中，正视图面积最小的情况如图一，最大的情况如图二。而这个旋转过程是连续的。所以，主视图的面积区间，从而选项D在这个区间。所以本题答案为C。【2009北京高考8】点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是（）A．直线上的所有点都是“点”B．直线上仅有有限个点是“点”C．直线上的所有点都不是“点”D．直线上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”解析:如上图，在直线上任找一点P，找到两个状态，从图

5、像上看到，显然有，当向下滑动到11时，是一个连续变化，所以由临界状态知必有一个状态为，故选择Ａ答案。【2012海淀区二模理14】点是曲线上的一个动点，曲线在点处的切线与轴、轴分别交于两点，点是坐标原点.给出三个命题：①；②的周长有最小值；③曲线上存在两点，使得为等腰直角三角形．其中真命题的个数是（A）1（B）2　　　（C）3　（D）0解析：①由直接计算可得，②中用到均值不等式。①②并非本题的难点，在此省略。③若通过设未知数解方程则较为繁琐，用极坐标计算稍简便一些，但在实践中绝大多数学生并不熟悉极坐标。下面我们通过图像用临界状态来解决问题

6、。如下图，易知，直角顶点不可能在坐标原点，以圆心，为半径画圆交反比例函数于，由图像可知是一个顶角为锐角的等腰三角形，这是第一个状态。相同的做法可得第二个状态，如下图所示，易知是一个顶角为钝角的等腰三角形。所以，综上，当状态１的顶点为11锐角等腰三角形向下连续滑动到状态２的顶点为钝角等腰三角形时，中间必经过直角等腰三角形。【2013海淀区一模理8】设为空间中三条相互平行且两两的距离分别为4，5，6的直线，给出下列三个结论：①　使得是直角三角形。②　使得是等边三角形。③　三条直线上存在四点使得为在一个顶点处的三条棱两两垂直。其中正确结论的序

7、号是：（）（A）①（B）①②　　（C）①③　（D）②③解析：如图所示：由题意构造一个三棱柱，其中面垂直于三条直线，这三条直线两两的距离分别为4，5，6，在三条直线上取三点使面得平行于面，易知，是一个锐角三角形。然后，让不动，向上滑动，向下滑动。可得到下图的状态：11易知向上滑动，向下滑动幅度足够大，则是一个钝角。所以在这个连续变化过程中，必有一个直角三角形。所以①正确。对于②构造下图：构造平行于底面的三角形，易知，在直线上存在一点，使得，所以，。由余弦定理易知：，然后保持等腰三角形（）让向上滑动到无限远处（这意味着跟着向上滑动），则，所

8、以中间必有一个状态是，即为等边三角形，所以②正确。对于③，容易用立体空间的相关定理推断这个命题是错误的。所以正确答案为。【2011西城区一模理8】如图，四面体的三条棱两两垂直，,，为四面体外一点.给出下列命