载流子 的有效质量

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1、载流子的有效质量(晶体电子为什么可以采用有效质量?引入有效质量的意义何在?什么是状态密度有效质量?什么是电导率有效质量?)虽然晶体电子不同于经典的自由电子，但是在外场作用下晶体电子的运动却往往可以采用经典的规律(Newton运动定律)来描述。因此在讨论晶体电子在外场作用下的运动时，可以把晶体电子看成是具有一定有效质量的经典自由电子。(1)有效质量概念的引入和意义:因为外场在晶体中变化的尺度一般要比原子间距大得多(1000倍)，则相对于晶体的原胞大小a而言，可认为外场的变化是比较缓慢的;因此，我们可以适当放宽对坐标的要求，即可以选取电子坐标的不确定度Δx比原胞大

2、小a大得多，当然Δx要比外场的波长λ小得多，即有aΔxλ从而，相应的动量不确定度为Δk=2p/Δx=Δp/?1/a即动量不确定度比Brillouin区范围小得多，因此可以近似认为这时动量(准动量)大致也是确定的。这就是说，相对于变化缓慢的外场而言，可以近似认为晶体电子(或空穴)是处于某个"地点"(比原胞大得多的范围)、并且具有"一定"动量(在Brillouin区的一个点附近)的经典粒子，这就是所谓准经典近似。所以，对于半导体中的载流子而言，虽然不是严格意义上的经典粒子，但是在分析它们在外场作用下的运动时，只要载流子的平均自由程(相当于Δx)比晶体原胞的尺寸(a

3、)大得多时，往往就可以简单地看成是坐标和动量都同时"确定"了的经典自由粒子。从而，对于能带中的载流子，在准经典近似下，都可以当作为经典的自由粒子来进行处理，即认为它们具有一定的有效质量m*，并服从经典的运动规律(牛顿定律)和统计规律(Boltzmann统计)。这样一来就使得分析载流子的运动问题变得简单多了。实际上，在讨论许多半导体器件时，就往往采用了这种准经典近似。(2)有效质量近似:由于晶体电子的量子特性来自于晶体周期性势场的影响，而引入有效质量之后，即可把晶体电子看作为经典自由粒子。因此，晶体电子在外场U(r)作用下的波函数ψk(r)所满足Schr?din

4、ger方程[-(?2/2m)?2+V(r)+U(r)]ψk(r)=i?ψk(r)/?t可简化为所谓有效质量方程:[-(?2/2mn*)?2+U(r)]ψk(r)=i?ψk(r)/?t即把晶体周期性势场V(r)概括到电子有效质量mn*中去了。该有效质量方程也就是具有质量mn*的自由电子的Schr?dinger方程。这种把晶体电子当作为具有一定有效质量的经典自由粒子来处理的方法，是一种合理的近似，特称为有效质量近似。在准经典近似下，可以直接写出晶体电子的能量E与动量p之间的关系为E(k)=p2/(2m*)=(?2/2m*)k2即是抛物线关系。当然，这种简单的抛物线

5、关系与晶体电子真正的能带关系相差甚远;实际上也只有在能带极值附近才成立(即在极值附近处的能带曲线可以较好地近似为抛物线)。不过，在许多半导体的应用中，牵涉到的载流子也往往就是那些处在能带极值附近的载流子。所以准经典近似具有很大的实用价值。在准经典近似下，由于在外力作用下电子状态k的变化规律与经典力学的一致，故可称(?k)为晶体电子的动量--准动量(并不是真正的动量，因为晶体电子并不具有确定的动量)，它仅表示电子对外力作用的一种响应。对于处在价带顶附近的空穴，在准经典近似下，完全类似地可以引入空穴的有效质量来把空穴经典化。即空穴可看成是一种带正电荷(+q)的、具

6、有正有效质量(下面用mp*表示)的经典自由粒子。(3)有效质量的性质:晶体电子或空穴的有效质量具有其独特的性质:a)有效质量反映了晶体周期性势场的作用，则它不同于一般的惯性质量，有效质量可大于或小于其惯性质量，可以取正值(在能带底部)、也可以取负值(在能带顶部);b)有效质量是具有数个分量的张量，则载流子运动的加速度可以与外力的方向不一致，只有当外力沿着等能面主轴方向时才具有相同的方向;c)有效质量与电子或空穴所处的状态k有关;d)有效质量决定于能带曲线的曲率半径(曲率半径越小，有效质量也越小)，则有效质量与能带结构有关，能带越宽，能带曲线的曲率半径也越小，有

7、效质量就越小;e)有效质量概念只有在能带极值(能带底或能带顶)附近才有意义，在能带中部则否(因为在能带中部的有效质量将趋于∞)。一般半导体中的载流子，往往就是处在能带底(电子)或能带顶(空穴)附近，故都可以采用有效质量概念。注意，在电子能带图上，空穴的能量在价带顶最低(相应于空穴的势能)，越往下能量越高;并且处于价带顶附近的空穴的有效质量为正(电子在能带顶附近的有效质量为负)。对于导带中的电子，通常它们处在能带底部，具有正的有效质量;但是若把它们加速到能带顶部，则其有效质量将变为负，即会出现负电阻。利用此负电阻即可实现所谓负质量放大器。既然载流子的有效质量与能

8、带结构直接有关，那么，若要减小载流子的