用火箭发射人造卫星的道理---毕业论文

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1、【标题】用火箭发射人造卫星的道理【作者】张莉【关键词】火箭  人造卫星  轨道  数学模型  速度  质量【指导老师】杨世显【专业】数学与应用数学【正文】1 问题的提出用火箭发射卫星时，通常都采用三级火箭作为运载工具。例如，我们的长征2号火箭和欧洲共同体的阿里亚娜火箭都是三级火箭。火箭从地面发射时，先点燃第一级火箭的推进器加速火箭的飞行，到第一级火箭的燃料耗尽时将第一级火箭丢弃同时点燃第二级火箭，到第二级火箭的燃料燃尽时丢弃第二级火箭同时点燃第三级火箭，使火箭加速到一定的速度并将卫星送入轨道。使用三级火箭是不是偶然的？为什么不用一级、二级或四级火箭呢

2、？使用三级火箭而不用一级或其他多级火箭绝不是偶然，而是采用数学模型与数学方法进行定量分析的结果。可以从数学上论证，采用三级火箭在某种意义下是最优的。要做这样的分析，必须建立合适的数学模型，下面我们将建立运载火箭的数学模型并说明采用三级火箭是最优的方案。运载火箭是一个十分复杂的系统，影响它飞行的有许多因素，例如发动机是否足够强大，火箭的结构是否有足够的强度，火箭的外形是否使前进阻力减小到足够最低限度，火箭的控制系统是否灵敏可靠，等等。要构造数学模型必须找出主要的因素。我们现在讨论的问题是将运载火箭垂直于地面发射，最后将卫星送入绕地球旋转的轨道并使它保持

3、在轨道上运动而不致因地球的引力而坠落，要达到这一目的，卫星必须保持一定的速度，从而要求运载火箭在将卫星送入轨道时达到较大的速度。但此速度又是通过火箭推进器加速火箭的飞行获得的。由牛顿（Newton）第二定律，力等于加速度乘以质量，要获得较大的加速度，应当具有较大的推力和较小的质量，所以必须讨论火箭发动机的推力和火箭系统的质量。归结起来，我们将分别考虑卫星的速度计算问题，如何决定火箭的推力和如何决定火箭与卫星的质量，然后确定运载火箭的最佳级数。至于火箭的结构、外形及控制等问题，在确定火箭的最佳级数时不是主要的因素。我们只假定它们能满足保证火箭正常飞行的

4、需要而不加以考虑。（1） 设卫星绕地球做匀速圆周运动，证明其速度为 ，要把卫星送上离地面 的轨道，火箭末速度 应是多少。（2）用动量守恒原理证明 ，由此认为要提高火箭的末速度应采取什么措施。（3）证明若 （即火箭不带卫星），则燃料用完时火箭达到的最大速度为 。求 。这个说明什么。（4）假设燃料燃烧的同时，不断丢弃无用的结构部分，用动量守恒原理证明 。问燃料用完时火箭末速度是多少，与前面的结果有何不同。（4）是个理想化的模型，实际上只能建造多级火箭的办法一段段的丢弃无用的结构部分。求出 级火箭的速度公式。计算要使 ，发射一吨重的卫星需要多重的火箭。若用

5、二级或四级火箭，结果如何。由此得出使用三级火箭发射人造卫星的道理。2 具体模型2.1卫星的速度2.1.1问题的假设设地球是半径为 的均匀球体，卫星的轨道是以地球为中心，半径为 的圆周，并且设卫星绕地球做匀速圆周运动， 为地表的重力加速度；设卫星的质量为 ，地球质量为 ，万有引力常数为 ，地球引力常数为 ；假设地球和卫星之间只考虑相互间的引力，其他星体的作用由于距离较远可以忽略不计。2.1.2 问题的分析由地球是均匀球体的假设，可以将地球的质量集中在它的中心，应用牛顿万有引力定律得地球对距地心 处的质量为 的质点的引力为          …………….

6、.  (1)为决定地球引力常数 ，我们考察质量为 的质点在地表所受的力。由引力公式（1）,它受到地球引力的作用，由牛顿第二定律有    ,从而可得     …………. ..  (2)和引力公式             ……………  （3）2.1.3 模型的建立由于卫星体积相对于地球而言是十分小的，可以视为一个质点，公式(3)即可作为描述地球对卫星的引力公式。现考察卫星的运动，设卫星以速度 绕地球做匀速圆周运动（线速度为 ），所以卫星没有切向加速度，法向加速度为 。卫星此时只受到地球的引力，于是由牛顿第二定律有                   从而

7、得         ……………..  （4）   这就是卫星绕地球旋转不致因地球引力而坠落的速度。2.1.4 模型的求解卫星是用火箭送入轨道的，所以火箭的末速度至少也应达到 。若近似的取 ，可得 ，这是所谓的第一宇宙速度，若卫星距地球 ，则 ，从而由（4）得 。2.2 火箭推力问题首先将火箭简化为一个由载满燃料的燃料仓和火箭发动机构成的系统，燃料在发动机中燃烧，产生大量气体，从火箭的尾部喷射出来，对火箭产生向前的推力。2.2.1问题的假设假设在时刻 火箭的质量为 ，火箭的速度为 ；设 为气体喷射相当于火箭的速度，初速度 ，初始质量为 ；为简化分析，我

8、们忽略影响不大的重力和空气阻力等。2.2.2 问题的分析考察时段 火箭系统的动量变化，在时刻 ，火箭系统的总