em第7讲亥姆霍兹定理

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1、电磁场与电磁波Electromagneticfieldsandelectromagneticwaves第7讲亥姆霍兹定理及矢量场分类黄惠芬华南理工大学电子与信息学院射频与无线技术研究所TEL:89502331Email:huanghf@scut.edu.cnResearchInstituteofRF&WirelessTechniques第2讲内容∑亥姆霍兹定理∑矢量场的分类∑例题∑矢量场的唯一性定理∑格林定理SouthChinaUniversityofTechnologyResearchInstituteofRF&WirelessTechniques7.1亥姆霍兹定理∑矢量场是由场源产生的。

2、对矢量场取散度运算，可以检验矢量通量源密度的分布情况，因此，矢量的散度，对应着矢量场的一种源——通量源(或发散源)；divA=lim1A⋅dSΔv∫Δv→0SGG∂A∂A∂AxyzdivAA=++=∇⋅(178)−∂∂∂xyz∇•A=ρ≠0SouthChinaUniversityofTechnologyResearchInstituteofRF&WirelessTechniques7.1亥姆霍兹定理∑对矢量场取旋度运算也可以“验源”，矢量的旋度同样地对应着矢量场的另一种源——旋涡源。rot(187)AA=∇×−∇×A=J≠0SouthChinaUniversityofTechnologyRe

3、searchInstituteofRF&WirelessTechniques7.1亥姆霍兹定理∑矢量场确定，产生矢量场的这两种源的分布也就确定。那么，矢量场还有没有其他种类的源呢?若一个矢量场的旋度和散度确定了，该矢量场是否就唯一确定了呢?亥姆霍兹定理对这个问题给予了回答。亥姆霍兹定理(1):对于一个定义于无限大区间、在无限远处有界、1完全正则(即其量值至少随2衰减，且其源密度r1至少按衰减）的矢量函数F(r)，一定可把它分r解为两个矢量函数之和，其中一个矢量函数的旋度恒为0，而另一个矢量函数的散度恒为0，即SouthChinaUniversityofTechnologyResearchIn

4、stituteofRF&WirelessTechniques7.1亥姆霍兹定理G∑矢量函数F(r)的散度ΔiFr()是由F1(r)决定的；矢量函数F(r)的G旋度Δ×F()r是由F2(r)决定的。换言之，此矢量函数F(r)是由其本GG身的旋度Δ×F()r和散度ΔiF()r唯一地确定的.∑亥姆霍兹定理(2)：在有限区域内，F(r)是由其旋度、散度和边界条件唯一地确定的(边界条件实质上是代表区域以外的其他场源对区域内的F(r)的影响)。∑在研究场量的特性时，我们总是从其旋度和散度两方面去研究而总结出其微分形式的基本方程，或者从矢量对一闭路的环量和对SouthChinaUniversityofTe

5、chnology闭面的通量去研究，从而总结出其积分形式的基本方程的。ResearchInstituteofRF&WirelessTechniques7.1亥姆霍兹定理∑在研究场量的特性时，我们总是从其旋度和散度两方面去研究而总结出其微分形式的基本方程，或者从矢量对一闭路的环量和对闭面的通量去研究，从而总结出其积分形式的基本方程的。divA=lim1A⋅dSΔv∫Δv→0SGG∂A∂A∂AxyzdivAA=++=∇⋅(178)−∂∂∂xyzSouthChinaUniversityofTechnologyrot(187)AA=∇×−ResearchInstituteofRF&WirelessTe

6、chniques亥姆霍兹定理(3)：若矢量场F(r)在无限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，源分布在有限区域V′中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场F(r)可以表示为：F(r)=−∇Φ(r)+∇×A(r)如果∇×=AA0,则=∇u1∇′⋅F(r′)Φ(r)=∫′dV′4πVr−r′式中：1∇′×F(r′)如果∇⋅=B0则B=∇×AA(r)=∫′dV′4πVr−r′可见，该定理表明任一矢量场均可表示为一个无旋场与一个无散SouthChinaUniversityofTechnology场之和。矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要问题。ResearchInstituteofRF&Wi

7、relessTechniques7.2矢量场的分类∑既然对于场的整体、即在无限大区域中，矢量场能由其旋度和散度唯一地确定，那么矢量场的分类就可以按场有无旋度、散度来分类。∑1、无旋有散场∑如果矢量场F在区域V内处处有的无旋有散场。GG∇iiBD=∇=0,ρGE=−∇ϕ2∑标量泊松方程，∇i∇=∇拉普拉SouthChinaUniversityofTechnology斯算子。ResearchInstituteof