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1、食饵——捕食者数学模型摘要：在自然界不同种群之间存在一种既有依存，又相互制约的生存方式。种群甲靠丰富的自然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵—捕食者系统。为了分析他们之间数量的变化关系，以及它们之间数量达到平衡的情况。本文根据它们之间的特殊关系与这种潜在的规律，建立了具有自滞作用的食饵—捕食者模型。我们利用matlab软件求微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察猜测解析构造，然后研究平衡点及相轨线的形状，验证猜测的正确性关键词：自滞作用数值解matlab平衡点相轨线分析稳定性一、问题重述自然界不同种群之间存在一种既
2、有依存，又相互制约的生存方式。种群甲靠丰富的自然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵—捕食者系统。为了分析他们之间数量的变化关系，以及它们之间数量达到平衡的情况。解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性，并用matlab软件画出图形。二，问题背景一次世界大战期间地中海渔业的捕捞量下降（食用鱼和鲨鱼同时捕捞），但是其中鲨鱼的比例却增加，这是为什么？Volterra建立的模型回答了这个问题三，问题分析首先，在复杂的自然界中，存在着许多影响种群发展的因素。假如给食饵（食用鱼）和捕食者（鲨鱼）一个理想的
3、环境，它们是呈J形增长的。现实情况中，由于受到环境的限制，种群增长一般符合阻滞增长的模型。我们利用软件matlab求出微分方程的数值解，并通过对数值和图形观察做出猜测，然后分析相轨线，验证猜测的的正确性。最后对数学模型进行修改和确定。四、基本假设1，假设它们是处于封闭的自然条件下，人类活动对其生存不产生影响2，假设食饵和捕食者在封闭的环境中可以正常生长，没有疾病等促使他们死亡3，假设食饵和捕食者在各年龄段中的分布率不变，即年龄结构不变，并采用各种措施一直维持这以结构4，假设捕食者离开食饵无法生存5，食饵和捕食者不会因为捕食关
4、系导致物种灭绝五，符号说明X（t）：食饵（食用鱼）在时刻t的数量Y（t）：捕食者（鲨鱼）在时刻t的数量r1：食饵在独立生存时以指数规律增长，（相对增长率）r2：捕食者独立生存时以指数规律增长，（相对增长率）N1：食饵的最大容量N2：捕食者的最大容量1：单位数量乙（相对于N2）提供的供养甲的食物量为单位甲（相对于N1）消耗的供养甲食物量1倍2：单位数量甲（相对于N1）提供的供养甲的食物量为单位乙（相对于N2）消耗的供养甲食物量2倍d：捕食者离开时独立存在的死亡率六，模型建立食饵（甲）数量x（t），捕食者（乙）数量y（t）甲独立
5、生存的增长率r=rx乙使甲的增长率减小，减小量与y成正比（t）=（r-ay）x=rx-axy（1）a~捕食者掠取食饵的能力乙独立生存的死亡率d=-dy甲使乙的死亡率减小，减小量与x成正比（t）=-（d-bx）y=-dy+bxy（2）b~食饵供养捕食者的能力方程（1），（2）无解析6.1模型建立我们考虑自身的阻滞增长作用，建立以下模型1（t）=r1x1（1--1）(3)2(t)=r2x2(-1+2-)(4)6.2模型求解利用数学软件matlab分别求解（3），（4）两个微分方程的数值解。记食饵和捕食者的初始数量为X（0）=x0
6、y（0）=y0求数值解（t），（t）及相轨线y（x），设r=1，d=0.5，a=0.1，b=0.02，x0=25，y0=2，用matlab软件编制程序如下：r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;xdot=[(r-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)).*x(2)];functionxdot=shier(t,x)ts=0:0.1:15;x0=[25,2];[t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,s],plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),p
7、ause,plot(x(:,1),x(:2)),grid,可得数值解（t），（t）及相轨线y（x）数值解（t），（t）的图形相轨线y（x）的图形根据图形和数值结果可以猜测，x（t），y（t）是周期函数，相应的y（x）是封闭曲线，从数值解近似的定出周期为10.7，x的最大最小值分别为99.3和2.0，y的最大值最小值分别为28.4和2.0.并且用数值积分容易算出x（t），y（t）在一个周期的平均值为=25，=10。七、模型分析、评价及改进7.1平衡点及稳定性分析首先求得（3），（4）方程的两个平衡点为P（d
8、b，r
9、a），p’
10、（0，0）（5）对于p’，q﹤0，p’不稳定；对于p，p=0，q﹥0，处于临界状态，不能用判断线性方程平衡点稳定性的准则研究非线性方程，所以用相轨线分析解决7.2用相轨线分析的稳定性消去dt得取指数，c由初始条件确定为了从理论上验证y（x）是封闭曲线，记↓↓f（x）g（y）可以用软件画出它
