第二章 有限群的表示理论

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1、第二章有限群的表示理论2.1概述1、从一般意义上说，若群G和群W是同态的（严格地说，是G到W的同态），则两个群有结构相似性，我们称W是G的一个同态表示。例如，任何g阶有限群，都与同态。事实上，首先两个群之间有下列对应关系：其次，，都有因此，是任何有限群的一个同态表示，这是群的最简单的表示。又例如，与同态，所以L是H的同态表示由于群和它的同态表示之间，元素有多对一的对应关系，因此同态表示又称非忠实表示。2、更为有意义的是所谓同构表示。若群G和群W同构，则两个群有相同的结构，我们称W是G的一个同构表示（当然，也可以说G是W的一个同构表示）

2、。由于群和它的同构表示之间，元素有一一对应的关系，因此同构表示又称忠实表示。3、在表示理论中，特别有价值的是便于计算的表示，比如矩阵表示。也就是，用一个与有限群G同构的矩阵群作为群的一个表示。今后，我们所说的表示如未作特殊说明均指矩阵表示，简称表示。2.2群的矩阵表示首先，我们想要指出的是，任何一个群至少可以找到一个同构的矩阵群。例如：(1)二阶群：由于所有的二阶群都是同构的（二阶循环群），因此，任何一个二阶群，有无数个与之同构的矩阵二阶群：29；(1)三阶群：三阶群是素数阶群，只有一种结构就是三阶循环群。因此，任何三阶群，至少有一个

3、与之同构的矩阵三阶循环群，例如：(2)群和下列矩阵群同构：其中：，，，，当然，还可以找到其它与此群同构的矩阵群。因此，我们有下列定义：定义2.1任何n阶有限群，称一个与G同构的矩阵群为G的一个矩阵表示（简称表示）。矩阵的阶数称为该表示的维数。对此定义因该注意以下几条：a)对，有；b)G群中幺元素E总是对应中的单位矩阵；29a)G群中两个互逆元素总是对应中的两个互逆的矩阵；b)群的阶数与表示的维数是两个概念。c)给定有限群的表示不是唯一的。定义2.2设和为群G的两个维数相同的表示，若存在满秩方阵X，使得：（或：）则称这两个表示是等价的。

4、定理2.1有限群G的任何一个表示总等价于一个幺正表示（酉表示）。换句话，对于任何有限群，总可以表示为一个幺正矩阵的群。【证明】设是n阶群G的一个m维的表示。构造一个矩阵H：(2.1)（）则H是一个正定的厄米矩阵*（，所有的本征值为大于零的实数）。因此，必然存在一个幺正变换（酉变换）U使得：将(2.1)代入上式有(a1)其中，（a2）H是正定的，因此是正定的，故可导出一个满秩矩阵：(2.2)定义满秩方阵29(2.3)（，，）以X为变换矩阵，将表示中的每一个矩阵被变换为(2.4)()即得到群G的一个新的表示。不难验证，该表示中的每一个矩阵

5、都是幺正矩阵，事实上注：定理2.1的证明过程，给出了将一个群G的非幺正表示通过相似变换化为幺正表示的步骤：a)求厄米矩阵：；b)求解H的本征问题得到：幺正矩阵U、对角矩阵；c)令，则在X的变换下得到一个幺正表示：。292.3群的可约表示与完全可约表示定义2.3设g阶有限群的一个n维的表示为：若对有：(2.5)（）其中，是m维方阵，是n-m维方阵，则称是群G的一个可约表示，否则就称不可约表示。不难说明，如果表示是一个可约表示，则由可以约化出群G的另外两个表示：m维的表示：n-m维的表示：事实上，首先，群G与和的元素间有一一对应的关系；2

6、）其次，对有：由于是可约表示，故此有对比两端对应元素有29定义2.4设g阶有限群的一个n维的表示为：若对有：(2.6)（）其中，是m维方阵，是n-m维方阵，则称是群G的一个完全可约表示。定理2.2有限群G的任何一个可约幺正表示必然是一个完全可约表示。（任何可约的幺正矩阵群必然是完全可约的）。【证明】设是群G的一个幺正可约表示，则对有：（）将第一个式子代入第二个式子：因此必有29这就证明了幺正群是完全可约的，并且、也是幺正的。由于一个群的非幺正表示，总可以通过相似变换化为幺正表示，故今后的讨论总是假定群的表示是幺正的。2.4不可约表示及

7、相关定理在前面的讨论中我们看到，群G的一个n维可约表示（假定是幺正的）可以约化为一个m维的幺正表示和一个n-m维的幺正表示，即如果（或）仍然是可约的表示，则将其约化为其中、仍然是群G的幺正表示。我们将约化过程持续下去直到其中，，k=1,2,…,s是群G的不可约表示。应该注意的是，在上述不可约表示中，可能有一些是相互等价的。由此可见，通过对可约表示的反复约化，最终总能得到群的不可约表示。因此，以下将重点讨论群的不可约表示。2.4.1舒尔(Schur)引理在此，先介绍两个引理，为下一节将要介绍的大正交定理做好数学的准备。舒尔引理1：设g阶

8、群的一个n维不可约表示为,若存在矩阵M，对有：则M必为常数矩阵（即）。【证明】假设29(i=1,2,…,g)两端取转置共轭两端左右同乘由于是幺正的，故有令：则：显然，H、都是厄米矩阵，并且故只要证明H、都是常数矩阵即可（