周世勋《量子力学》习题解答

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1、第二章2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。证明：对于定态，可令可见无关。2.2由下列定态波函数计算几率流密度：从所得结果说明表示向外传播的球面波，表示向内(即向原点)传播的球面波。解：在球坐标中同向。表示向外传播的球面波。可见，反向。表示向内(即向原点)传播的球面波。补充：设，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？∴波函数不能按方式归一化。其相对位置几率分布函数为表示粒子在空间各处出现的几率相同。2.3一粒子在一维势场中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解：无关，是定态问题。其定态S—方程在各区域的具体形式为Ⅰ：①Ⅱ：②Ⅲ：③由于(1)、(3)

2、方程中，由于，要等式成立，必须即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2)可变为令，得其解为④根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得⑤⑥　　　　⑤⑥∴由归一化条件得由可见E是量子化的。对应于的归一化的定态波函数为2.4.证明（2.6-14）式中的归一化常数是证：（2.6-14）由归一化，得∴归一化常数2.5求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。解：令，得由的表达式可知，时，。显然不是最大几率的位置。而可见是所求几率最大的位置。2.6在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。证：在一维势场中运动的粒子的定态

3、S-方程为①将式中的代换，得②利用，得③比较①、③式可知，都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此之间只能相差一个常数。方程①、③可相互进行空间反演而得其对方，由①经反演，可得③，④由③再经反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。　⑤④乘⑤，得可见，当时，，具有偶宇称，当时，，具有奇宇称，当势场满足时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。2.7一粒子在一维势阱中运动，求束缚态()的能级所满足的方程。解：粒子所满足的S-方程为按势能的形式分区域的具体形式为Ⅰ：①Ⅱ：②Ⅲ：③整理后，得Ⅰ：④Ⅱ：.⑤Ⅲ：⑥令则Ⅰ：⑦Ⅱ

4、：⑧Ⅲ：⑨各方程的解为：由波函数的有限性，有：因此由波函数的连续性，有整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得解此方程即可得出B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须∵∴即为所求束缚态能级所满足的方程。方法二：接（13）式另一解法：(11)-(13)(10)+(12)(11)+(13)(12)-(10)令则合并：利用另：最简方法-平移坐标轴法解：Ⅰ：（χ≤0）Ⅱ：（0＜χ＜2）Ⅲ：（χ≥2）束缚态＜＜因此由波函数的连续性，有(7)代入(6)利用(4)、(5)，得2.8分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表

5、示为求束缚态的能级所满足的方程。解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。定态S-方程为对各区域的具体形式为Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ：Ⅳ：对于区域Ⅰ，，粒子不可能到达此区域，故而.①②③对于束缚态来说，有∴④⑤⑥各方程的解分别为由波函数的有限性，得∴由波函数及其一阶导数的连续，得∴⑦⑧⑨⑩由⑦、⑧，得(11)由⑨、⑩得(12)令，则①式变为联立(12)、(13)得，要此方程组有非零解，必须把代入即得：此即为所要求的束缚态能级所满足的方程。附：从方程⑩之后也可以直接用行列式求解。见附页。此即为所求方程。第三章3.1一维谐振子处在基态，求：(1)势能的平均值；(2)动能的平均值

6、；(3)动量的几率分布函数。解：(1) (2)或(3)动量几率分布函数为3.2.氢原子处在基态，求：(1)r的平均值；(2)势能的平均值；(3)最可几半径；(4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。解：(1)(3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为令当为几率最小位置∴是最可几半径。(4)（）(5)动量几率分布函数3.3证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是证：电子的电流密度为：在球极坐标中为式中为单位矢量中的和部分是实数。∴可见，3.4由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。(1)求一圆周电流的磁矩。(2)证明氢原

7、子磁矩为原子磁矩与角动量之比为：这个比值称为回转磁比率。解：(1)圆周电流的磁矩为（为圆周电流，为圆周所围面积）(2)氢原子的磁矩为在单位制中原子磁矩与角动量之比为：3.5一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是，L为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：(1)转子绕一固定轴转动：(2)转子绕一固定点转动：解：(1)设该固定轴沿Z轴方向，则有哈密顿算符其本征方程为(无关，属定态问题)令，则取其解为(可正可负可为零)由波函数的单值性，应有即∴m=0，±1，±2，…转子的定态能量为(m=0，±1，±2，…)可见能量只能取一系列分立值

8、，构成分立谱。定态波函数为A为归一化常数，由归一化条件∴转子的归一