循环冗余校验码(crc)的基本原理

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1、循环冗余校验码（CRC）的基本原理循环冗余校验码（CRC）的基本原理是：在K位信息码后再拼接R位的校验码，整个编码长度为N位，因此，这种编码又叫（N，K）码。对于一个给定的（N，K）码，可以证明存在一个最高次幂为N-K=R的多项式G(x)。根据G(x)可以生成K位信息的校验码，而G(x)叫做这个CRC码的生成多项式。校验码的具体生成过程为：假设发送信息用信息多项式f(X)表示，将f(x)左移R位（则可表示成f(x)*XR），这样f(x)的右边就会空出R位，这就是校验码的位置。通过f(x)*XR除以生成多项式G(x)得到的

2、余数就是校验码。几个基本概念1、多项式与二进制数码多项式和二进制数有直接对应关系：x的最高幂次对应二进制数的最高位，以下各位对应多项式的各幂次，有此幂次项对应1，无此幂次项对应0。可以看出：x的最高幂次为R，转换成对应的二进制数有R+1位。多项式包括生成多项式G(x)和信息多项式f(x)。如生成多项式为G(x)=X4+X3+X+1，可转换为二进制数码11011。而发送信息位1111，可转换为数据多项式为f(x)=X3+X2+X+1。2、生成多项式是接受方和发送方的一个约定，也就是一个二进制数，在整个传输过程中，这个数始终

3、保持不变。在发送方,利用生成多项式对信息多项式做模2除生成校验码。在接受方利用生成多项式对收到的编码多项式做模2除检测和确定错误位置。应满足以下条件：a、生成多项式的最高位和最低位必须为1。b、当被传送信息（CRC码）任何一位发生错误时，被生成多项式做模2除后应该使余数不为0。c、不同位发生错误时，应该使余数不同。d、对余数继续做模2除，应使余数循环。将这些要求反映为数学关系是比较复杂的。但可以从有关资料查到常用的对应于不同码制的生成多项式如图9所示：N          K          码距d          

4、G(x)多项式          G(x)7          4          3          x3+x+1          10117        4        3          x3+x2+1   11017       3         4         x4+x3+x2+1        111017          3          4          x4+x2+x+1         1011115          11         3          x4+x+

5、1          1001115          7         5          x8+x7+x6+x4+1          11101000131          26         3          x5+x2+1          10010131          21         5          x10+x9+x8+x6+x5+x3+1   1110110100163          57        3          x6+x+1          10000116

6、3          51       5          x12+x10+x5+x4+x2+1         10100001101011041      1024          　   x16+x15+x2+1          11000000000000101图9常用的生成多项式3、模2除（按位除）模2除做法与算术除法类似，但每一位除（减）的结果不影响其它位，即不向上一位借位。所以实际上就是异或。然后再移位做下一位的模2减。步骤如下：a、用除数对被除数最高几位做模2减，没有借位。b、除数右移一位，若余数最

7、高位为1，商为1，并对余数做模2减。若余数最高位为0，商为0，除数继续右移一位。c、一直做到余数的位数小于除数时，该余数就是最终余数。【例】1111000除以1101：1011———商————1111000-----被除数1101————除数————10001101————10101101————111————余数4、CRC码的生成步骤（1）将x的最高幂次为R的生成多项式G(x)转换成对应的R+1位二进制数。（2）将信息码左移R位得到多项式f(x)*XR。（3）用生成多项式（二进制数）对f(x)*XR做模2除，得到余数（

8、即校验码）。（4）将余数多项式加到f(x)*XR中，得到完整的CRC码。【例】假设使用的生成多项式是G(x)=x3+x+1。4位的原始报文为1010，求编码后的报文。解：（1）将生成多项式G(x)=x3+x+1转换成对应的二进制除数1011。（2）此题生成多项式有4位（R+1），要把原始报文F(x)左移3（R）位变成