翻译哈工程专业英语阅读电子信息工程

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1、为了更加熟悉s平面和z平面零极点之间的关系，当s取特定值时，研究复变量z会发生怎样的变化是很有用的。这个过程通常会称作是s平面到z平面的映射。假设，以s是一个纯虚数为例，那么（如3-14式）。如果我们用z平面的阿根图来表示z的值，那么z产生的轨迹将是一个随w变化的单位圆，当w=0是以实轴为起点并且以w=2π/T的间隔重复其轨道。下面令s=σ，当σ是一个实数时，令z=eσ。如果σ是正数，z就是一个大于1的正数；如果σ是负数，那么z是一个小于1的正数。试想最终令s=σ+jw，使z=eσejwT。那么z的值就可以用在正实轴上产生一个角度为wT弧度

2、长度为eσT的向量来表示。无论何时σ是负数时，在z平面内的单位圆明确存在一个点对应于左半边s平面的点。因此所有s平面左半边的点都可以映射到z平面的单位圆内。事实上，这并不是全部。设想我们用z平面如图3.2中的右边的一个单独极点B来描述数据采样信号。它的z变换G（z）=1/（z-r），它的频谱用jw代替s产生（3-15）式。分母可以用从B点出发到单位圆上一点的向量来表示。w以2π/T弧度每秒变化时，描绘出完整的单位圆，这个向量的长度和相位变化，因此频谱是重复的。因此例如B点的z平面的单个极点相当于一个无限重复的s平面极点的集合，临近的一系列的

3、集合被以2π/T为间隔在虚轴上分开。图左边的s平面的B点仅仅是这个无限集合的一个点。如果运用z平面这就解释了为什么用零极点来描述数据采样信号是最合算的。为了给出一些相似的方法，对应于一些z变换的时间函数将会被估算。考虑第一个函数（3-16式）。有等式。。。的根可以得到8个零点，第8个极点在z=0处。其中的两个零点很清楚是z=1和z=-1，另外六个可以在单位圆上描述出来如图3.3所示。这个图也显示出了对应的时间函数和他的频谱，在w=0和w=π/T之间最近的三个无效点对应于三个零点分别是A、B、C。如果位于z=1的零点被移动，我们可以得到新的z

4、变换（3-17式），相乘出来的结果是3-18式。对应的时间函数包括8个单位高度的采样，如图3.4所示。频谱不同于第一个例子主要在于有一个有限的零频率，均值和项数。我们会很有趣的注意到可以通过取消在z=1处的零点得到邻近的样本。因此G（z）可以写成3-19式，表示一个给定的z变换更经常用于表示一系列相近的零极点的集合而不是孤立的零极点的集合。任何可用z平面单位圆上有限系列的零点所表示的z变换肯定表示一个有限区间的时间函数，这个函数除了是一种纯粹的时间原点转换之外，要么是奇要么是偶。如果我们回想单位圆上一系列有限的零点等价于s平面虚轴上一个无限

5、重复的序列，这个原因就显而易见啦。任何向量从s平面的零点到虚轴上一点总会有一个±π/2弧度的相角，因此总的相角是由所有这样的零点向量产生的是π/2的整数倍。因此频谱总是或纯虚或者纯实，来描述一β个由正弦或者余弦组成的时间函数。很有意思的注意到图3.3中既然间函数是奇的，3.4中的是偶的。一个时间原点转移除外。图3.5a中的数据采样信号与用零极点表示的信号稍有不同，图3.5b中的是一个衰减指数波形的缩短形式。这个缩短形式可以通过3.5b的信号减去3.5c的信号来得到。他的z变换可以写成3-20式。在以α为半径的圆上有一系列等间隔k个零点，除了

6、在z=α处的被一个相应的极点抵消，如图3.5所示k=12时。很有趣的注意到当α和k被选定使图3.4中的所有项都是无关紧要的，那么这个无限长的缩短的信号也是有效的。既然这个无限长的信号在z=α处的一个单独的极点表示，我们可以得出一个结论一组足够长的零点在以α为半径的圆上等同于相同半径下的一个单独极点。考虑另一个z变换3-21式，它的零点存在于z=0和z=1处，在z=α±jβ处有一对复共轭极点。举一个实例，设想α=0.81和β=0.55，给出了极点的位置如图3.7所示，这些极点都接近于单位圆，因此在wT=θ或者wT=θ/T弧度每秒时表现出高的频

7、率。Z=1处的零点表示对应的时间函数的均值是零，因此所有的样本值之和是零。为了得到相应的信号将G3（z）描述成z（-1）幂级数形式并不简单，但是这样做的结果如图3.7b所示。仅存在于单位圆内的z平面极点引出一个无限项数的幂级数来表示一个衰减震荡函数。占主导部分的一个单独周期大约占有11个采样间隔，它的频率如3-22所示。这个值是我们所希望的3-23式，因此θ=34°，非常接近0.57弧度。最后需要说明的是z平面的零极点的起点对应于一个纯粹的时移，不会在其他方面对时间函数产生影响。因此在z=0处的零点在以上的例子中仅仅确保第一个有限的样本值发

8、生在t=0处，如果零点不存在，将会在t=T处发生。相反的，在起点处的一个单独的零点将会对应于在t=-T处的第一个样本值。一般来说，第一个非零采样值发生在z=0处当多项式G(z)的