教案：数列的概念与简单表示

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1、数列的概念与简单表示教学目标了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表法、图象法、通项公式法）．了解数列是自变量为正整数的一类函数．重点、难点：根据题意写出数列的通项公式．一、新知学习A．数列的概念1．数列定义按一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．记作，简记为，其中是数列的第项．2．数列的两个特性：（1）有序性，一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关．（2）可重复性，数列中的数可重复出现．3．数列的函数本质数列实际上是定义在正整数集（或它的有限真子集）上的函数，可表示为．B

2、．数列的几种表示法1．列表法即以如下表格形式给出数列：123…………2．图象法数列的每一项在直角坐标系中有它的对应点，因此，数列可用函数图象上一群孤立的点来表示．3．通项公式（解析法）若某数列的第项与之间的函数关系可以用一个解析式表示，这个式子称为这个数列的通项公式．4．递推公式法如果已知数列的首项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式就叫做数列的递推公式．利用递推公式可以求数列的某一项,也可以用来求它的通项公式．C．数列的分类1．按项数分数列按项数可分为有穷数列（项数有限）、

3、无穷数列（项数无限）．2．按相邻项大小关系分递增数列（）、递减数列（）、常数列（）、摆动数列．3．按若干项变化规律分周期数列、非周期数列．D．单调性数列的定义1．设是数列的序号的一个取值集合，则若在区间上都有，则称数列在上为递增数列；若在区间上都有，则称数列在上为递增数列．2．研究数列单调性的方法（1）利用数列单调性的定义；（2）利用不等式组（或）（3）数形结合．E．数列的前项和1．数列前项和定义．2．与通项的关系注：利用数列的前项和求通项时，特别要注意是否也适合得出的表达式，若不适合，数列的通项公式就要用分段函数的形式给出

4、．F．两个变换关系式1．累加变换式如果有递推关系，则．2．累乘变换式如果有递推关系，则．G．给出数列的方法1．以数列的前几项给出，如3，5，9，17，33，…；2．以图象给出；3．以表格给出；4．以通项公式给出，如数列的通项公式为；5．以递推公式给出，如数列中，，．二、知识迁移A．由数列的前几项写出数列的通项公式例写出以下各数列的一个通项公式：（1）3，5，9，17，33，…；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解：（1）（改写为，故．（2）改写为，故．（3）改写为，故．（4）改写成，故．（5）改写成，故．（6）改写成，

5、故．或．注：（1）联想、归纳、类比是探求某些规律的重要手段之一．（2）由数列的前几项求数列的通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由于不完全归纳得出的结果是不可靠的，故要注意代值检验．（3）对于正负符号有规律变化时，可用或来调整．（4）仅给出数列的前几项时，这个数列是不确定的，因而它的通项公式也不是唯一的．（5）利用一些熟知的基本数列（如自然数列、奇偶数列等）能顺利地转换问题．自主体验根据数列前几项，写出下列各数列的一个通项公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解：（1）改写成，故．（2）改

6、写成，故．（3）改写成，故．（4）改写成，故．（5）改写成，故．（6）改写成，故．B．通项公式的应用例已知数列与满足，，且，，则、的值分别是．解：．又，所以时，，由，，可得；当时，，可得；当时，，可得．故，．自主体验数列的通项公式，前项和为，则．解：当时，，当时，，当时，，当时，，所以．所以．C．数列的函数特征数列是一种特殊的函数，故它有函数的性质，从函数的角度研究数列，可深化对数列的理解．如求数列的最大(小)项，一般可以先研究数列的单调性，可以用或也可以转化为函数最值问题或利用数形结合．例已知为常数，数列由下表确定：123

7、455试将表格填写完整，并作出这个数列的图象．解：由题意，得解得所以，从而，，，，．数列的图象略．注：列表、图解和解析式（通项公式）是表示数列的常用方法．自主体验已知数列、的通项公式分别为，(为常数)，且，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是A．0B．1C．2D．3解析：设，则．因为，，所以无解．选A．D．数列的递推公式及应用例已知数列中，，，则A．1B．99C．D．解：，据得，，…，所以．选A．1234551342自主体验题组1．函数定义如下表，数列满足，且对任意的自然数均有，则等于A．1B．2C．4D．5解析：因为

8、，，，，，知的值以为周期，则．选D．2．在数列中，，，则A．B．C．D．解：因为，所以．又，所以．选A．3．已知数列满足，，，则．解：因为，所以，两式相减，得，所以．所以．E．数列的单调性例已知数列中，求数列的最大项．解：令．所以在上单调递减，在上单调递减，如图，又，所以最小，最大，且．自