专题7：排列、组合、二项式定理、概率与统计

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1、专题七排列、组合、二项式定理、概率与统计的题型与方法【考点审视】1．突出运算能力的考查。高考中无论是排列、组合、二项式定理和概率题目，均是用数值给出的选择支或要求用数值作答，这就要求平时要重视用有关公式进行具体的计算。2．有关排列、组合的综合应用问题。这种问题重点考查逻辑思维能力，它一般有一至两个附加条件，此附加条件有鲜明的特色，是解题的关键所在；而且此类问题一般都有多种解法，平时注意训练一题多解；它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于中等偏难（理科）的题目。3．有关二项式定理的通项式和二项式系数性质的问题。这种问题重点考查运算能力，特别是有关指数运算法则的运用，

2、同时还要注意理解其基本概念，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。4．有关概率的实际应用问题。这种问题既考察逻辑思维能力，又考查运算能力；它要求对四个概率公式的实质深刻理解并准确运用；文科仅要求计算概率，理科则要求计算分布列和期望；它一般以一小一大（既一道选择题或填空题、一道解答题）的形式出现，属于中等偏难的题目。5．有关统计的实际应用问题。这种问题主要考查对一些基本概念、基本方法的理解和掌握，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。【疑难点拨】1．知识体系：加法原理乘法原理排列组合随机事件的概率：1等可能性事件的概率2互斥事件的概率3相互独立事

3、件的概率4独立重复实验离散型随机变量的分布列、期望与方差二项式定理统计抽样方法：简单随机，系统，分层总体分布的估计：条形图、直方图正态分布线性回归2．知识重点：（1）分类计数原理与分步计数原理。它是本章知识的灵魂和核心，贯穿于本章的始终。（2）排列、组合的定义，排列数公式、组合数公式的定义以及推导过程。排列数公式的推导过程就是位置分析法的应用，而组合数公式的推导过程则对应着先选（元素）后排（顺序）这一通法。（3）二项式定理及其推导过程、二项展开式系数的性质及其推导过程。二项式定理的推导过程体现了二项式定理的实质，反映了两个基本计数原理及组合思想的具体应用，二项展开式系

4、数性质的推导过程就对应着解决此类问题的通法——赋值法（令）的应用。（4）等可能事件的定义及其概率公式，互斥事件的定义及其概率的加法公式，相互独立事件的定义及其概率的乘法公式，独立重复试验的定义及其概率公式。互斥事件的概率加法公式对应着分类相加计数原理的应用，相互独立事件的概率乘法公式对应着分步相乘计数原理的应用。（1）（理科）离散型随机变量的定义，离散型随机变量的分布列、期望和方差。（2）简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，总体分布，正态分布，线性回归。1．知识难点：(1)排列、组合的综合应用问题。突破此难点的关键在于：在基本思想上强调两个基本原理（分类相加计数原理和分

5、步相乘计数原理）在本章知识中的核心地位；在通法上要求，首先要认真审题，分清是排列（有序）还是组合（无序），或二者兼而有之；其次要抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原理进行“分类与分步”，分类时要不重不漏，分步时要独立连续。在两个公式的应用中要深刻理解其定义中的“所有”的含义，特别是组合数“”已包含了个元素“所有”可能的组合的个数，故在平均分堆过程中就会产生重复，而平均分配给不同的对象过程中就不用再排序。同时在本节中要注意强调转化化归数学思想的应用。(2)二项式定理的计算。突破此难点的关键在于：熟记指数的运算法则和二项展开式的通项公式，深刻理解“第项”“常数项”

6、“有理项”“二项式系数”“系数”等基本概念的区别与联系。(3)概率、分布列、期望和方差的计算。突破此难点的关键在于：首先要运用两个基本原理认真审题，弄清楚问题属于四种类型事件中的哪一种，然后准确地运用相应的公式进行计算，其中要注意排列、组合知识的应用。（理科）对于分布列要熟记一个基本型（）和三个特殊型（，二项分布，几何分布）的定义和有关公式；此类问题解题思维的的流程是：要求期望，则必先求分布列，而求分布列的难点在于求概率，求概率的关键在于要真正弄清每一个随机变量“”所对应的具体随机试验的结果。【教学过程】例1：将名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排名学生，那

7、么互不相同的分配方法共有多少种？[思路分析]根据宿舍的人数，可分为三类：“”型不同的分配方法有种；“”型不同的分配方法有种；“”型不同的分配方法有种。则由加法原理得，不同的分配方法共有种。[简要评述]本题体现了“先选后排”通法的应用，属于排列组合混合问题。要注意（不）平均分配与（不）平均分堆的联系与区别。例2：在正方形中，分别为各边的中点，为正方形中心，在此图中的九个点中，以其中三个点为顶点作三角形，在这些三角形中，互不全等的三角形共有多少个？[思路分析]根据三角形的类型分为三类：直角三角形有共种；以边为底的三角形共种；过中点和中心的三角形有共种。由