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1、数列的概念与简单表示法(一)（一）主要知识：1．数列的概念按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的一般形式数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}，其中a1称为数列{an}的第1项(或称为首项)，a2称为第2项，…，an称为第n项．3．数列的分类(1)根据数列的项数可以将数列分为两类：有穷数列：项数有限的数列；无穷数列：项数无限的数列．(2)按照数列的每一项随序号变化的情况分类：递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列；递减数列：从第2项起，每一项都小于它
2、的前一项的数列；常数列：各项相等的数列；摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．数列的表示方法：列举法；图象法；解析法（通项公式）数列的通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．递推法．数列的递推公式如果已知数列{an}的首项(或前n项)及相邻两项间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式与的关系：．（二）主要方法：数列通项公式的求法：观察分析法；公式法：转化成等差、等比数列；累加、累乘法；递推法。（三）典例分析：一、根
3、据数列的前几项写出数列的一个通项公式例1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)－1,7，－13,19，…(2)0.8,0.88,0.888，…(3)，，－，，－，，…(4)，1，，，…(5)0,1,0,1，…解 (1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)(n∈N*)．(2)数列变形为(1－0.1)，(1－0.01)，(1－0.001)，…，∴an＝(n∈N*)．(3)各项的分母分别为21,22,23
4、,24，…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－，因此原数列可化为－，，－，，…，∴an＝(－1)n·(n∈N*)．(4)将数列统一为，，，，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16…即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，∴可得它的一个通项公式为an＝(n∈N*)．(5)an＝或an＝(n∈N*)或an＝(n∈N*)．总结 解决本类问题的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系．同时，要善于利用我
5、们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化而达到问题的解决．变式训练1 写出下面数列的一个通项公式．(1)2，4，6，8，…； (2)10,11,10,11,10,11，…； (3)－1，，－，，….解 (1)这是个混合数列，可看成2＋，4＋，6＋，8＋，….故通项公式an＝2n＋(n∈N*)．(2)该数列中各项每两个元素重复一遍，可以利用这个周期性求an.原数列可变形为：10＋0,10＋1,10＋0,10＋1，….故其一个通项为：an＝10＋，或an＝.(3)通项符号为(－1)n，如果把第一项－1看作－，则分母为3,5,7,9，…
6、，分母通项为2n＋1；分子为3,8,15,24，…，分子通项为(n＋1)2－1即n(n＋2)，所以原数列通项为：an＝(－1)n(n∈N*)．根据下面各数列的前几项值，写出数列的一个通项公式：，，，，，…；，，，，，…；，，，，，，，，…；，，，，，，，，…；，，，，，…；二、根据递推公式写出数列的前几项例2 设数列{an}满足写出这个数列的前5项．解 由题意可知a1＝1，a2＝1＋＝1＋＝2，a3＝1＋＝1＋＝，a4＝1＋＝1＋＝，a5＝1＋＝1＋＝.总结 由递推公式可以确定数列，它也是给出数列的一种常用方法变式训练2 在数列{a
7、n}中，已知a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n≥1)，写出此数列的前6项．解 a1＝2，a2＝3，a3＝3a2－2a1＝3×3－2×2＝5，a4＝3a3－2a2＝3×5－2×3＝9，a5＝3a4－2a3＝3×9－2×5＝17，a6＝3a5－2a4＝3×17－2×9＝33.三、数列通项公式的应用例3 已知数列；(1)求这个数列的第10项；(2)是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．(1)解 设f(n)＝＝＝.令n＝10
8、，得第10项a10＝f(10)＝.(2)解 令＝，得9n＝300.此方程无自然数解，所以不是该数列中的项．(3)证明 ∵an＝＝＝1－，又n∈N*，∴0<<1，∴0
