抛物线的定义和标准方程

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1、莱州市高级职业学校课时计划科目：数学课题《抛物线的定义和标准方程》课型新授教学目标知识目标：理解抛物线的定义；明确焦点、准线的概念；了解用抛物线的定义推导开口向右的抛物线的标准方程的推导过程进一步得出开口向左、向上、向下的抛物线的标准方程，并熟练掌握抛物线的四种标准方程及其所对应的开口方向、焦点坐标、准线方程之间的关系能力目标：让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系，培养学生类比、数形结合的数学思想方法，提高学生的学习能力，同时培养学生运动、变化的辨证唯物主义观点；.情感目标：培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风，增强

2、学生审美体验，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度。教学重点抛物线的定义；根据具体条件求出抛物线的标准方程；根据抛物线的标准方程求出焦点坐标、准线方程；教学难点抛物线的标准方程的推导教法设计启发式教学法教具多媒体教学活动过程点滴感悟教学过程：一、新课引入：实例引入：观察生活中的几个实例（1）截面图；（2）卫星接收天线（观察其轴截面）；（3）太阳灶（观察其轴截面）；（4）探照灯（观察其轴截面）；（5）投球时球的运行轨迹（播放动画演示其轨迹）（类比：使学生看到曲线上任一点到定点和到定直线

3、的距离之比等于常数是圆锥曲线的一个共同的本质属性，明确抛物线与椭圆、双曲线之间的联系）二、新课讲授：（一）　定义：（提问学生，由学生归纳出抛物线定义）　平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。（二）推导抛物线的标准方程（开口向右）（重点）：１、要把抛物线上的点Ｍ的集合P={M

4、4

5、MF

6、=d}表示为集合Ｑ＝{(x,y)

7、f(x,y)=0}。首先要建立坐标系，为了使推导出的方程尽量简化，应如何选择坐标系？［教师引导］建立适当的直角坐标系应遵循的两

8、点原则：①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴；②曲线上的特殊点，可选作坐标系的原点。］过焦点F作准线l的垂线交l于点K，启发学生思考回答问题：（1）如何确定x轴（或y轴）？　（以对称轴为坐标轴）由抛物线的几何特征知KF是抛物线的对称轴。（2）如何确定坐标原点？（曲线上的特殊点，可作为坐标系的原点）因为线段KF的中点适合条件——到点F的距离等于到直线l的距离，所以它又在抛物线上——以线段KF的中点为坐标原点。（3）怎样建立坐标系才使方程的推导简化？［教师引导］通过不同位置的二次函数解析式的对比，联想抛物线如何建

9、系。让学生大胆发言，谈谈自己的观点（教师要积极鼓励学生引导学生）取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l相交于点K，以线段ＫＦ的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。２、开口向右的抛物线标准方程的推导：（教师引导得出结论）步骤:（投影展示）过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与直线l相交于点K，以线段ＫＦ的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。设焦点到准线的距离｜ＫＦ｜=p（p>0）那么，焦点Ｆ的坐标为（p/2,0）,准线l的方程为x=-p/2.设抛物线上的任一点Ｍ（x,y），点Ｍ到直线l的距离为d根据定义，抛物线

10、就是点的集合P={M

11、

12、MF

13、=d}因为，，所以4将上式两边平方并化简，得（1）方程（１）的推导过程表明，抛物线上的点的坐标都是这个方程式的解。还可以证明，以方程（１）的解为坐标的点都在此抛物线上。我们把方程叫做抛物线的标准方程。３、（引导分析）标准方程y2=2px(p>0)的特点：（用代数方法——几何问题）p的几何意义：焦点到准线的距离焦　点：（p/2,0）在x轴的正半轴上准　线：x=-p/2顶　点：坐标原点（０，０）开口方向：向右4、让同学们类比写出不同位置的抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程5、让学生对这抛物线

14、和它们的标准方程进行对比分析，辨认异同：相同点：１、原点在抛物线上；4２、对称轴为坐标轴；３、p值的意义：（重点）（１）表示焦点到准线的距离；（２）p>0为常数;（３）p值等于一次项系数绝对值的一半；４、准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离等于一次项系数的绝对值的１／４，即2p/4=p/2.不同点：方程对称轴开口方向焦点位置X2=2py(p>0)x轴向右X轴正半轴上X2=-2py(p>0)x轴向左X轴负半轴上Y2=2px(p>0)y轴向上Y轴正半轴上Y2=-2px(p>0)y轴向下Y轴负半轴上三、

15、例题讲解：例1.(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点是F(0,-2),求它的标准方程解：（1）p＝3，所以抛物线的焦点坐标是（3/2，0），准线方程是x＝－3/2．（2）因为抛物线的焦点在轴的负半轴上,且，所以抛物线的标准方程是四、课堂小结：（提学生归纳总结）1．椭圆、双曲线与抛