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1、关于数论研究的社会意义 王世强 (北京师范大学数学学院,100875北京) 摘要:本文简述数论研究的社会意义. 关键词:数论,社会.
2、 [一]数论是研究数的性质的数学学科.它的一个主要领域(也是最古老的领域)是研究通常的整数.它除了对于数学本身很有用之外,也有不少实际用处. (1.1)例如在编制密码方面就很有用.利用大素数编制的密码不易被局外人破译.我国的段学复院士,万哲先院士与丁石孙教授,冯克勤教授等都在这方面做出不少成果.(因保密而未发表).中国科学院软件研究所的陶仁骥研究员在密码的密钥方面作过不少研究.王明生研究员也用"代数几何"方法在这方面作出很多成果.[关于密码,读者可参看万哲先院士著<代数与
3、密码>(科学出版社,2006)或冯緖宁与袁向东合著<中国近代代数史简编>(山东教育出版社,2006)第66-68页.或万哲先院士在<数学通报>1984年第6期的文章.笔者也在一篇简介性文章中作了简单的举例介绍[已投稿到<中学数学杂志>]. (1.2)在寻找大素数方面,(素数越大对于密码越有利.在笔者上述已投稿的文章中有说明).人们常利用Mersenne数与Fermat数[它们的定义见下].我们(笔者与别荣芳,史璟,杜文静)曾证明:几乎一切(即:至多有有限个例外)Mersen
4、ne数都是素数;几乎一切Fermat数也都是素数.[见<前沿科学>2009年第3期].我们(笔者与史璟)还证明了:几乎一切Wooden数与Cullen数,Fibonnacci数也都是素数.这就为从这几种形式去找素数开辟了广阔的前景.寻找大素数是很难的问题.我们曾用数理逻辑中的"模型论"方法给出一个关于困难性的证明.已投稿.[研究素数对实际有用,所以我对此很感兴趣]. (1.3)另外,有些应用性不明显的数论问题对社会也有间接应用.在上世纪初,世界著
5、名的德国数学家D.Hilbert向数学界提出23个未解决问题.其中有Goldbach的两个猜想这一看来并无实际应用的难题.但Hilbert认为,为研究此问题,可能出现新的数学方法,而新的数学方法可能会有实际应用.我国的华罗庚院士,王元院士,潘承洞院士,陈景润院士等都对Goldbach猜想作出不少贡献.特别是陈景润院士的"1+2"定理[见<中国科学>1973年第2期],被国际数学界认为是在Goldbach猜想的研究方面最好的结果.(最近,我们用"模型论"方法证明了这一猜想对于某个大数以上的整数都成立.已投稿.其中一个是把陈景润的"1+2"
6、定理改进为"1+1";一个是对1937年I.M.Vinogradov关于Goldbach三素数猜想的证明给出用模型论方法的新证明,并大大缩短了他的证明.他的有几十页,我们的只两页.陈景润的"1+2"定理的证明也是几十页,我们对"1+1"定理的证明只两页.我们还用模型论方法证明了:只用"解析数论"方法(就是数学分析一类的方法)是不可能完全证明Goldbach猜想的.已投稿). (1.4)在此之前,我们(笔者与罗里波,沈复兴,卢景波)在代数数论等方面的研究,曾在1986年获得国家教委"科学技术进步奖一等
7、奖. [二]关于似乎无实际应用的数学理论到后来有重要应用的现象古已有之.例如复数的出现,看起来似乎无用,但复变函数论的实际应用很多.在计算电路方面,特别是当计算交流电时,就要应用复数.用模表示交流电的幅值,用幅角表示交流电的相位.复数在热力学反面也有很多用途.它在力学方面更加广泛，流体力学里面设计飞机的翼型问题，还有固体力学里面的弹性理论都是有力的工具.[我国的杨乐院士与张广厚研究员(已逝)在复变函数论方面作出了突出的贡献].
8、 [三]现在谈谈Mersenne素数:它们是形式为2p-1的素数.其中p是正素数.已知当p=2,3,5
