【孟】求矩阵特征值与特征向量乘幂和逆乘幂注释版【孟】

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1、第6章 求矩阵特征值与特征向量 第16讲 乘幂法和逆幂法　　一、 乘幂法的基本思想　　乘幂法是求实方阵A按模最大特征值及相应的特征向量的一种迭代方法。它的基本思想是，先任取非零初始向量  ，然后作迭代序列  再根据  增大时，  各分量的变化规律，求出方阵A的按模最大的特征值及相应的特征向量。　　先看一个实例　例1.设矩阵　　 　　用特征方程容易求得  的两个特征值为　　　　下面我们用乘幂法来计算，任取初始向量  ，计算向量序列　　　　具体计算列表如下：　　　　考虑两个相邻向量相应分量之比：　　    　　由上面计算看出，两个相邻向量相应分量之比值，随着  的增大

2、而趋向于一个固定值，并且此值恰好就是方阵A的按模最大的特征值。　　　　二、乘幂法的计算公式 　　设矩阵A的n个特征值按模的大小排列为：　　│λ1│≥│λ2│≥…≥│λn│　　其相应的特征向量为 　　e1,e2,…,en　　且它们是线性无关的。　　先任取非零初始向量  ，作迭代序列　　  　　首先将  表示为　　　　　　所以  　　为了得出计算  和  的公式，下面分三种情况讨论　　1. λ1为实根，且│λ1│>│λ2│。　　当a1不为0，k充分大时，则有　　　　所以    （6.2）2．  为实根，且λ1=-λ2，│λ2│>│λ3│。　　当a1 ，a2不为0，k充

3、分大时，则有　　　　于是得                  　　从而有                 （6.3）　　（3）λ1=u+iv,λ2=u-iv,且│λ2│>│λ3│。当k充分大时，则有　　　　（推导过程参见教材164-165）在实际应用幂法时，可根据迭代向量各分量的变化情况判断属于那种情况。　　若迭代向量各分量单调变化，且有关系式Xk+1=cXk，则属于第1种情况；　　若迭代向量各分量不是单调变化，但有关系式Xk+2=cXk，则属于第2种情况；　　若迭代向量各分量变化不规则，但有关系式Xk+2+pXk+1+qXk≈0，则属于第3种情况；   为了防止

4、溢出，可采用迭代公式：                  （6.6）这里面的代表Yk绝对值最大的分量.　例2 乘幂法求矩阵  按模最大特征值和相应特征向量。　　解 取X0=（1，1，1）T，用乘幂法迭代公式             Xk+1=AXk，k=0,1,….　　计算列表如下：　　　　所以　　事实上，　　矩阵  的最大特征值为 　　其相应的特征向量为 三、逆幂法　　1.求A按模最小的特征值　　设非奇异矩阵A的n个特征值为λ1≥λ2≥…≥λn，其相应的特征向量为e1,e2,…,en，则  的特征值为   　　其相应的特征向量仍为e1,e2,…,en。　　A-1

5、按模最大的特征值的倒数则为矩阵A按模最小的特征值。　　利用乘幂法求A-1按模最大的特征值。    任取初始非零初始向量X0，作迭代序列               Xk+1= A-1Xk，k=0,1,…．　　它等价于                  AXk+1=Xk，k=0,1,… ．  （6.8）　　我们可以通过反迭代过程，即解方程组                    AXk+1=Xk，k=0,1,…．求得Xk+1 。     当│λn-1│>│λn│，a n≠0,k充分大时，则有           　　在实际计算中，为了减少运算量，先将矩阵A作三角分解

6、                         A=LR　　然后再求解方程组 2．求在  附近的特征值 　　设与  最接近的特征值为  即有  　　　　作矩阵  ，它的特征值和相应的特征向量为        　　若用逆幂法于矩阵  ，则有                   　　则可求出矩阵  的按模最小的特征值和相应的特征向量为         　　 于是得A在   附近的特征值和相应的特征向量为           （6.10）　例3 用逆幂法求矩阵  在3.4附近的特征值和相应的特征向量 　　解 对A-3.4I进行三角分解得：　　　　用半次迭代法，取  ，

7、则 　　得   　　再解  　　得   　　再解  　　得   　　于是               　　作业　　练习6.1　　1．用乘幂法求矩阵  按模最大特征值与特征向量。                    　　习题6　　1.用乘幂法求下列矩阵按模最大特征值与特征向量。 　　（2）