sars传播的数学模型_数学建模全国赛论文

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1、SARS传播的数学模型摘要本文分析了题目所提供的早期SARS传播模型的合理性与实用性,认为该模型可以预测疫情发展的大致趋势,但是存在一定的不足.第一,混淆了累计患病人数与累计确诊人数的概念;第二,借助其他地区数据进行预测,后期预测结果不够准确;第三,模型的参数L、K的设定缺乏依据,具有一定的主观性.针对早期模型的不足,在系统分析了SARS的传播机理后,把SARS的传播过程划分为:征兆期,爆发期,高峰期和衰退期4个阶段.将每个阶段影响SARS传播的因素参数化,在传染病SIR模型的基础上,改进得到SARS传

2、播模型.采用离散化的方法对本模型求数值解得到:北京SARS疫情的预测持续时间为106天,预测SARS患者累计2514人,与实际情况比较吻合.应用SARS传播模型,对隔离时间及隔离措施强度的效果进行分析,得出结论:“早发现,早隔离”能有效减少累计患病人数;“严格隔离”能有效缩短疫情持续时间.在建立模型的过程中发现,需要认清SARS传播机理,获得真实有效的数据.而题目所提供的累计确诊人数并不等于同期累计患病人数,这给模型的建立带来不小的困难.本文分析了海外来京旅游人数受SARS的影响,建立时间序列半参数回归

3、模型进行了预测,估算出SARS会对北京入境旅游业造成23.22亿元人民币损失,并预计北京海外旅游人数在10月以前能恢复正常.最后给当地报刊写了一篇短文,介绍了建立传染病数学模型的重要性.181.问题的重述SARS(严重急性呼吸道综合症,俗称:非典型肺炎)的爆发和蔓延使我们认识到,定量地研究传染病的传播规律,为预测和控制传染病蔓延创造条件,具有很高的重要性.现需要做以下工作:(1)对题目提供的一个早期模型,评价其合理性和实用性.(2)建立自己的模型,说明优于早期模型的原因;说明怎样才能建立一个真正能够预测

4、以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型,并指出这样做的困难;评价卫生部门采取的措施,如:提前和延后5天采取严格的隔离措施,估计对疫情传播的影响.(3)根据题目提供的数据建立相应的数学模型,预测SARS对社会经济的影响.(4)给当地报刊写一篇通俗短文,说明建立传染病数学模型的重要性.2.早期模型的分析与评价题目要求建立SARS的传播模型,整个工作的关键是建立真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型.如何结合可靠、足够这两个要求评价一个模型的合理性和实用性,首先需要明确:合理性定义要求模

5、型的建立有根据,预测结果切合实际.实用性定义要求模型能全面模拟真实情况,以量化指标指导实际.所以合理的模型能为预防和控制提供可靠的信息;实用的模型能为预防和控制提供足够的信息.2.1早期模型简述早期模型是一个SARS疫情分析及疫情走势预测的模型,该模型假定初始时刻的病例数为,平均每病人每天可传染K个人(K一般为小数),K代表某种社会环境下一个病人传染他人的平均概率,与全社会的警觉程度、政府和公众采取的各种措施有关.整个模型的K值从开始到高峰期间保持不变,高峰期后10天的范围内K值逐步被调整到比较小的值,

6、然后又保持不变.平均每个病人可以直接感染他人的时间为L天.整个模型的L一直被定为20.则在L天之内,病例数目的增长随时间t(单位天)的关系是:考虑传染期限L的作用后,变化将显著偏离指数律,增长速度会放慢.采用半模拟循环计算的办法,把到达L天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉.2.2早期模型合理性评价根据早期模型对北京疫情的分析与预测,其先将北京的病例起点定在3月1日,经过大约59天在4月29日左右达到高峰,然后通过拟合起点和4月20日以后的数据定出高峰期以前的K=0.13913.高峰期后的K值按香港情

7、况变化,即10天范围内K值逐步被调整到0.0273.L恒为20.由此画出北京3月1日至5月7日疫情发展趋势拟合图像以及5月7日以后的疫情发展趋势预测图像,如图1.18图1早期模型计算值与实际值对比图从图1可以看出,从4月20日至5月7日模型计算值与同期实际值的拟合程度比较好,但5月7日后模型计算值(即预测值)随着日期的增长逐渐偏离实际值.为了进一步验证上述分析,对模型计算值曲线和实际值进行残差分析,记表示第i天实际累计病例,表示第i天计算累计病例.计算其中,用作为的估计:做出标准化残差的分布图,如图2:

8、18图2早期模型的标准化残差分布图可以很明显地看出,在后期,残差图上出现明显的单减规律性,预测值高于实际值,说明预测值确实逐渐偏离实际值.通过以上分析得合理性评价:从预测准确度上有失合理性,虽然早期模型在拟合前期疫情时拟合程度较好,但对后期情况的预测出现较大偏差.尽管预测准确程度不高,但是该模型确实预测出了整个疫情的发展趋势.从这一点上看,该模型还是切合实际的.该模型选用公布数据直接拟合,从而预测后期疫情发展趋势,这有悖于模型本身的含义.因

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