《集合的含义及其表示》知识梳理

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1、集合的含义及其表示一、集合1．集合某些指定的对象集在一起成为集合。（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作；若b不是集合A的元素，记作；（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在

2、大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。（4）常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R。2．集合的包含关系（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作AB（或）；集合相等：构

3、成两个集合的元素完全一样。若AB且BA，则称A等于B，记作A=B；若AB且A≠B，则称A是B的真子集，记作AB；（2）简单性质：1）AA；2）A；（3）若AB，BC，则AC；（4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集）；　　3．全集与补集　　（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；　　（2）若S是一个集合，AS，则，=称S中子集A的补集；　　（3）简单性质：1）()=A；2）S=，=S。　　4．交集与并集　　（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。交集。　　（2）一般地，由所有

4、属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。。　　注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。　　5．集合的简单性质　　（1）　　（2）　　（3）　　（4）；　　（5）（A∩B）=（A）∪（B），（A∪B）=（A）∩（B）。二、函数　　1．函数的概念设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)

5、和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)

6、x∈A}叫做函数的值域。　　注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x。　　2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域　　（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：　　①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式

7、函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；　　②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；　　③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。　　（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。　　①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图像等）。　　3．两个函数的相等函数的定义含有三

8、个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。　　4．区间　　（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；　　（2）无穷区间；　　（3）区间的数轴表示。　　5．映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应