2018^年成人高考(专升本)高等数学成考笔记小抄【已排版】 1

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1、专业好文档第一章极限和连续第一节极限[复习考试要求]1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。[主要知识内容]（一）数列的极限1.数列定义按一定顺序排列的无穷多个数称为

2、无穷数列，简称数列，记作{xn}，数列中每一个数称为数列的项，第n项xn为数列的一般项或通项，例如（1）1，3，5，…，（2n-1），…（等差数列）（2）（等比数列）（3）（递增数列）（4）1，0，1，0，…，…（震荡数列）都是数列。它们的一般项分别为（2n-1）,。对于每一个正整数n，都有一个xn与之对应，所以说数列{xn}可看作自变量n的函数xn=f（n），它的定义域是全体正整数，当自变量n依次取1,2,3…一切正整数时，对应的函数值就排列成数列。在几何上，数列{xn}可看作数轴上的一个动点，

3、它依次取数轴上的点x1,x2,x3,...xn,…。2.数列的极限定义对于数列{xn}，如果当n→∞时，xn无限地趋于一个确定的常数A，则称当n趋于无穷大时，数列{xn}以常数A为极限，或称数列收敛于A，记作比如：无限的趋向0，无限的趋向1否则，对于数列{xn}，如果当n→∞时，xn不是无限地趋于一个确定的常数，称数列{xn}没有极限，如果数列没有极限，就称数列是发散的。比如：1，3，5，…，（2n-1），…1，0，1，0，…数列极限的几何意义：将常数A及数列的项依次用数轴上的点表示，若数列{xn

4、}以A为极限，就表示当n趋于无穷大时，点xn可以无限靠近点A，即点xn与点A之间的距离

5、xn-A

6、趋于0。比如：无限的趋向0无限的趋向1专业好文档（二）数列极限的性质与运算法则1.数列极限的性质定理1.1（惟一性）若数列{xn}收敛，则其极限值必定惟一。定理1.2（有界性）若数列{xn}收敛，则它必定有界。注意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界数列不一定收敛。比如：1，0，1，0，…有界：0，12.数列极限的存在准则定理1.3（两面夹准则）若数列{xn},{yn},{zn}满足以下条件：（1）

7、，（2），则定理1.4若数列{xn}单调有界，则它必有极限。3.数列极限的四则运算定理。定理1.5（1）（2）（3）当时，（三）函数极限的概念1.当x→x0时函数f（x）的极限（1）当x→x0时f（x）的极限定义对于函数y=f（x），如果当x无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→x0时，函数f（x）的极限是A，记作或f（x）→A（当x→x0时）例y=f（x）=2x+1x→1,f（x）→?x<1x→1x>1x→1（2）左极限当x→x0时f（x）的左极限定义对于函数y=f（x）

8、，如果当x从x0的左边无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→x0时，函数f（x）的左极限是A，记作或f（x0-0）=A（3）右极限当x→x0时，f（x）的右极限定义对于函数y=f（x），如果当x从x0的右边无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→x0时，函数f（x）的右极限是A，记作或f（x0+0）=A例子：分段函数，求，专业好文档解：当x从0的左边无限地趋于0时f（x）无限地趋于一个常数1。我们称当x→0时，f（x）的左极限是1，即有当x从0的右边无

9、限地趋于0时，f（x）无限地趋于一个常数-1。我们称当x→0时，f（x）的右极限是-1，即有显然，函数的左极限右极限与函数的极限之间有以下关系：定理1.6当x→x0时，函数f（x）的极限等于A的必要充分条件是反之，如果左、右极限都等于A，则必有。x→1时f(x)→?x≠1x→1f(x)→2对于函数，当x→1时，f（x）的左极限是2，右极限也是2。2.当x→∞时，函数f（x）的极限（1）当x→∞时，函数f（x）的极限y=f(x)x→∞f(x)→?y=f(x)=1+x→∞f(x)=1+→1定义对于函数

10、y=f（x），如果当x→∞时，f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→∞时，函数f（x）的极限是A，记作或f（x）→A（当x→∞时）（2）当x→+∞时，函数f（x）的极限定义对于函数y=f（x），如果当x→+∞时，f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→+∞时，函数f（x）的极限是A，记作这个定义与数列极限的定义基本上一样，数列极限的定义中n→+∞的n是正整数；而在这个定义中，则要明确写出x→+∞，且其中的x不一定是正整数，而为任意实数。y=f(x)x→+∞f(x)x→？专业好文档