高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解三

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1、2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解三1．（本小题满分13分）如图，已知双曲线C：的右准线与一条渐近线交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点.（I）求证：；（II）若且双曲线C的离心率，求双曲线C的方程；（III）在（II）的条件下，直线过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足，试判断的范围，并用代数方法给出证明.解：（I）右准线，渐近线，……3分（II）书利华教育网【www.ShuLiHua.net】您的教学资源库双曲线C的方程为：……7分（III）由题意可得……8分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m证明

2、：设，点由得与双曲线C右支交于不同的两点P、Q……11分，得书利华教育网【www.ShuLiHua.net】您的教学资源库的取值范围是（0，1）……13分2（本小题满分13分）已知函数，数列满足（I）求数列的通项公式；（II）设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求；（III）在集合，且中，是否存在正整数N，使得不等式对一切恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由.（IV）请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出这个极限值.解：（I）……1分……将这n个式子相加，得书利华教育网【www.Shu

3、LiHua.net】您的教学资源库……3分（II）为一直角梯形（时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为，高为1……6分（III）设满足条件的正整数N存在，则又均满足条件它们构成首项为2010，公差为2的等差数列.设共有m个满足条件的正整数N，则，解得中满足条件的正整数N存在，共有495个，……9分（IV）设，即则显然，其极限存在，并且……10分书利华教育网【www.ShuLiHua.net】您的教学资源库注：（c为非零常数），等都能使存在.19.（本小题满分14分）设双曲线的两个焦点分别为，离心率为2.（I）求此双曲线的渐近线的方程；（II）若A、B

4、分别为上的点，且，求w.w.w.k.s.5.u.c.o.m线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III）过点能否作出直线，使与双曲线交于P、Q两点，且.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.解：（I），渐近线方程为4分（II）设，AB的中点书利华教育网【www.ShuLiHua.net】您的教学资源库则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆.（9分）（III）假设存在满足条件的直线设由（i）（ii）得∴k不存在，即不存在满足条件的直线.14分书利华教育网【www.ShuLiHua.net】您的教学资源库3.（本小题满分

5、13分）已知数列的前n项和为，且对任意自然数都成立，其中m为常数，且.（I）求证数列是等比数列；（II）设数列的公比，数列满足：，试问当m为何值时，成立？解：（I）由已知（2）由得：，即对任意都成立（II）当时，书利华教育网【www.ShuLiHua.net】您的教学资源库由题意知，13分4．（本小题满分12分）设椭圆的左焦点为，上顶点为，过点与垂直的直线分别交椭圆和轴正半轴于，两点，且分向量所成的比为8∶5．（1）求椭圆的离心率；（2）若过三点的圆恰好与直线：相切，求椭圆方程．解：（1）设点其中．由分所成的比为8∶5，得，　　　　　　　　　　　2分∴．①，　

6、　　　　　　　　　　　　4分而，书利华教育网【www.ShuLiHua.net】您的教学资源库∴．．②，　　　　　　　　　　　5分由①②知．∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分（2）满足条件的圆心为，，　　　　　　　　　　　　　　8分圆半径．　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分由圆与直线：相切得，，又．∴椭圆方程为．　　　　12分5．（本小题满分14分）（理）给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差．（文）给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和

7、公差．（理）解：设公差为，则．　　3分书利华教育网【www.ShuLiHua.net】您的教学资源库　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7分又．∴，当且仅当时，等号成立．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　11分∴．　　　　　　　　　　　　13分当数列首项，公差时，，∴的最大值为．　　　　　　　　　　　　　　　　14分（文）解：设公差为，则．　　　3分，　　　　　　　　　　　6分又．∴．书利华教育网【www.ShuLiHua.net】您的教学资源库当且仅当时，等号成立．　　　　　　　　　　　　　　　　

8、　11分∴．