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《数学竞赛讲座第26辑：平面图形的面积》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、竞赛讲座26－平面图形的面积1． 关于面积的两点重要知识 （1）相似三角形的面积比等于相似比的平方 例1（第2届美国数学邀请赛题）如图40-1，在△ABC的内部选取一点P，过P点作三条分别与△ABC的三条边平行的直线,这样所得的三个三角形t1、t2和t3的面积分别为4，9和49．求△ABC的面积． 解 设T是△ABC的面积，T1、T2和T3分别是三角形t1、t2和t3的面积；c是边AB的长，c1、c2和c3分别是平行于边AB的三个三角形t1、t2和t3的边长．那么，由四个三角形相似，得 （2）两边
2、夹角的三角形面积，灵活运用△ABC的面积公式S=可以方便地解决一些较难的面积问题． 例2已知P、Q、R、S四点分别由四边形的四个顶点A、B、C、D同时开始沿四边形各边依反时针方向以各自的速度作匀速直线运动（如图40-2），已知P由A至B，R由C至D分别需要两秒钟；Q由B至C，S由D至A分别需要1秒钟；问开始运动后，经过多少时间，四边形PQRS的面积最小？ 解设P的速度是Q的速度是;R的速度是,S的速度是.在t(0＜t≤1)秒时,AP= 设四边形PQRS和四边形ABCD的面积分别为S′、S.
3、 ① ② ③ ④ ①+③得, ②+④得, 当t=′有极小值． 答:经过秒后,四边形PQRS面积最小． 下面是一个用不等式来证明相等问题的例子． 例3(1982年英国数学奥林匹克竞赛试题).PQRS是面积为A的四边形.O是在它内部的一点,证明:如果2A=OP2+OQ2+OR2+OS2 那么PQRS是正方形并且O是它的中心． 证明 如图40-3，按题设有 此处无图
4、p2+q2+r2+s2=pqsinα+qrsinβ+rsinγ+spsinδ ≤pq+qr+rs+sp ① 依题设、必须且只须这里所有的不等式都取等号．由①取等号有 由②取等号有p=q=r=s 因此PQRS是正方形,O是它的中心. 2.等积变换与面积法 等积变换的特点是利用图形之间的面积相等或成比例的转换来解题． 例4(第17届苏联竞赛题)图40-4中阴影所示的四个三角形面积相等.求证:无阴影所示的四个三角形面积相等.求证:无阴影的三个四边形的面积也相等． 证明
5、 如图:连ME、NC. ∵S△NME=S△CEM， ∴ME∥NC． 若设则由上式可得解以上三式的联立方程组可得 ． 这样，则N为BE中点． 又 同理可证 例5（第9届全俄中学竞赛题）如图40-5在凸五边形ABCDE中，对角线CE分别交对角线BD、AD于F、G，BF：FD=5：4，AG：GD=1：1，CF：FG：GE=2：2：3，求△CFD和△ABE的面积比． 解 连AF.∵CF：FG：GE=2：2：3， ∴S△CFD：S△DFG：S△DEG=2：2：3. S△CFD=S,则S△F
6、DG=S，S△DGF=S. 又BF：FD=5：4，∴S△BEF:S△FDE=5：4． ∴S△BEF=(S△FDG+S△DEG)=S 又由BF：FD=5：4，∴S△ABF:S△AFD=5：4． ∴S△ABE=SABFE-S△BFE =（S△ABF+S△AFG+S△AGE）-S△BFE =5S-S=S (∵AG:GD=1:1). 即S△CFD:S△ABE=8:15. 例6 六边形ABCDEF内接于⊙O,且AB=BC=CD=(如图40-6(a)),求此六边形的面积. 分析 如果连OA、
7、OB、OC、OD、OE、OF，那么容易看出 S△AOB=S△BOC=S△COD， S△DOE=S△EOF=S△FOA． =S△AOB+S△BOC+S△COD+S△DOE+S△EOF+S△FOA． 从加法满足交换律联想到图形可以改变位置而重新组合,于是把已知六边形改成等积的新的六边形A′B′C′D′E′F′,其中,⊙O与⊙O′为等圆,且A′F′=B′C′=D′E′=1,A′B′=C′D′=E′F′=把A′B′,C′D′,E′F′分别向两方延长得交点M、N、P(如图40-6(b)),容易证明∠B′A′F′=1
8、20°等,从而△MNP为等边三角形. 例7（1962年上海竞赛题）已知△ABC∽△A′B′C′如图40-7，AB=c,BC=a,CA=b,A′、B′、C′到BC、CA、AB的距离分别为l、m、n.求证：la+mb+nc=2S△ABC. 分析 欲证上述结论，只须证S△ABC+S△B′CA+S△C′AB=S△ABC． 我们试想,当△A′B′C收缩为一点时,上式
