全国初中数学竞赛辅导（初2）第09讲一元二次方程

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1、第九讲一元二次方程　　一元二次方程是中学代数的重要内容之一，是进一步学习其他方程、不等式、函数等的基础，其内容非常丰富，本讲主要介绍一元二次方程的基本解法．　　方程ax2+bx+c=0(a≠0)称为一元二次方程．　　一元二次方程的基本解法有开平方法、配方法、公式法和国式分解法．　　对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)，△=b2-4ac称为该方程的根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即　　当△=0时，方程有两个相等的实数根，即　　当△＜0时，方程无实数根．　　　　分析可以使用公式法直接求解，下面介绍的是采用因式分解法求解．　　

2、　　　因为　　　　所以　　　　　　　例2解关于x的方程：　　x2-(p2+q2)x+pq(p+q)(p-q)=0．　　解用十字相乘法分解因式得　　[x-p(p-q)][x-q(p+q)]=0，　　所以x1=p(p-q)，x2=q(p+q)．　　例3已知方程(2000x)2-2001×1999x-1=0的较大根为a，方程x2+1998x-1999=0的较小根为β，求α-β的值．　　解由方程(2000x)2-2001×1999x-1=0得(20002x+1)(x-1)=0，　　(x+1999)(x-1)=0，　　故x1=-1999，x2=1，所

3、以β=-1999．所以α-β=1-(-1999)=2000．　　例4解方程：(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)．　　分析本题容易犯的错误是约去方程两边的(x-1)，将方程变为3x-1=4x+1，　　所以x=-2，这样就丢掉了x=1这个根．故特别要注意：用含有未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程失根．本题正确的解法如下．　　解(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0，　　(x-1)[(3x-1)-(4x+1)]=0，　　(x-1)(x+2)=0，　　所以x1=1，x2=-2．　　例5解方程：x2-3｜x｜-4=0．

4、　　分析本题含有绝对值符号，因此求解方程时，要考虑到绝对值的意义．　　解法1显然x≠0．当x＞0时，x2-3x-4=0，所以x1=4，x2=-1(舍去)．当x＜0时，x2+3x-4=0，所以x3=-4，x4=1(舍去)．　　所以原方程的根为x1=4，x2=-4．　　解法2由于x2=｜x｜2，所以　　｜x｜2-3｜x｜-4=0，　　所以(｜x｜-4)(｜x｜+1)=0，　　所以｜x｜=4，｜x｜=-1(舍去)．　　所以x1=4，x2=-4．　　例6已知二次方程　　3x2-(2a-5)x-3a-1=0　　有一个根为2，求另一个根，并确定a的值．

5、　　解由方程根的定义知，当x=2时方程成立，所以　　3×22-(2a-5)×2-3a-1=0，　　故a=3．原方程为　　3x2-x-10=0，即(x-2)(3x+5)=0，　　　　例7解关于x的方程：ax2+c=0(a≠0)．　　分析含有字母系数的方程，一般需要对字母的取值范围进行讨论．　　　　当c=0时，x1=x2=0；　　　　当ac＞0(即a，c同号时)，方程无实数根．　　例8解关于x的方程：　　(m-1)x2+(2m-1)x+m-3=0．　　分析讨论m，由于二次项系数含有m，所以首先要分m-1=0与m-1≠0两种情况(不能认为方程一定

6、是一元二次方程)；当m-1≠0时，再分△＞0，△=0，△＜0三种情况讨论．　　解分类讨论．　　(1)当m=1时，原方程变为一元一次方程x-2=0，　　所以x=2．　　(2)当m≠1时，原方程为一元二次方程．　　△=(2m-1)2-4(m-1)(m-3)=12m-11．　　　　　　　　　　　例9解关于x的方程：　　a2(x2-x+1)-a(x2-1)=(a2-1)x．　　解整理方程得　　(a2-a)x2-(2a2-1)x+(a2+a)=0．　　(1)当a2-a≠0，即a≠0，1时，原方程为一元二次方程，因式分解后为　　[ax-(a+1)][(

7、a-1)x-a]=0，　　　　(2)当a2-a=0时，原方程为一元一次方程，当a=0时，x=0；当a=1时，x=2．　　例10求k的值，使得两个一元二次方程　　x2+kx-1=0，x2+x+(k-2)=0　　有相同的根，并求两个方程的根．　　解不妨设a是这两个方程相同的根，由方程根的定义有　　a2+ka-1=0，①　　a2+a+(k-2)=0．②　　①-②有　　ka-1-a-(k-2)=0，　　即(k-1)(a-1)=0，　　所以k=1，或a=1．　　(1)当k=1时，两个方程都变为x2+x-1=0，所以两个方程有两个相同的根　　　　没有相

8、异的根；　　(2)当a=1时，代入①或②都有k=0，此时两个方程变为x2-1=0，x2+x-2=0．　　解这两个方程，x2-1=0的根为x1=1，x2=-1；x2+x-2=0的根