试题名称:初中数学竞赛辅导资料(54)整数解

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1、初中数学竞赛辅导资料(54)           整数解甲内容提要1.求方程或不等式的整数解,就是求适合等式或不等式的未知数的整数值,包括判断无整数解.2.求整数解常用的性质、法则:①.数的运.算性质:整数+整数=整数, 整数-整数=整数,整数×整数=整数, 整数的自然数次幂=整数,整数÷(这个整数的约数)=整数.②.整系数的方程 ax2+bx+c=0(a≠0)只有当b2-4ac是完全平方数时,才有整数根. 有时用韦达定理x1+x2与x1x1都是整数,来确定整数解,但必须检验(因为它们只是整数解必要条件).③.运用二元一次方程求整数解(见第10

2、讲).④.用列举法.3.判定方程或不等式没有整数解,常用反证法.即设有整数解之后,把整数按某一模m分类,逐一推出矛盾.乙例题例1.求下列方程的正整数解: ① xy+x+y=5; ② x2+y2=1991.解:①先写成关于x的方程, (y+1)x=5-y.x=.当y+1取6的约数±1,±2,±3,±6时,x的值是整数. ∵-1+>0, 且x>0,y>0,∴11,x+1

3、>1.∴或  解得;或.②要等式成立,x,y必须是一奇一偶,设x=2a,y=2b-1(a,b都是正整数).左边x2+y2=(2a)2+(2b-1)2=4(a2+a+b2-b)+1.∴a,b不论取什么整数值,左边的数都是除以4余1,而右边1991是除以4余3.∴等式永远不能成立. ∴原方程没有正整数解.例2.一个正整数加上38或129都是完全平方数,求这个正整数.若把正整数改为整数呢?解:设这个正整数为x,根据题意,得(a,b都是正整数).(2)-(1):b2-a2=91.(b+a)(b-a)=91,∵91=1×91=7×13且b+a>b-a.∴

4、或 解得,;或.由方程(1)知a>,由方程(2)知b>.∴只有适合.∴x=a2-38=1987.答(略).如果改为整数,则两组的解都适合.另一个解是:x=a2-38=9-38=-29.例3.一个自然数与3的和是5的倍数,与3的差是6的倍数,则这个自然数的最小值是多少?  (1989年泉州市初二数学双基赛题)解法一:用列举法与3的和是5的倍数的自然数有:2,7,12,17,22,27,…与3的差是6的倍数的自然数有:3,9,15,22,27,…∴符合条件的最小自然数是27.解法二:设所求自然数为x,那么(a,b都是自然数).∴x=5a-3=6b+

5、3,∴a=,∵a,b都是自然数,∴b+1是5的倍数,其最小值是b=4.∴x=6b+3=27.例4.m取什么整数值时,方程mx2+(m2-2)x-(m+2)=0有整数解?解:设方程两个整数根为x1,x2.那么它们的和、积都是整数.根据韦达定理:∵x1和x2都是整数,∴m是2的约数,即m=±1,±2.∵这只是整数解的必要条件,而不是充分条件,故要代入检验.当m=1时,原方程为x2-x-3=0,没有整数解;当m=-1时,原方程为-x2-x-1=0,没有实数根;当m=2或m=-2时,方程有整数解.  答:当m=2或m=-2时,方程mx2+(m2-2)x

6、-(m+2)=0有整数解.例5. 已知:n是正整数,且9n2+5n+26的值是两个相邻正整数的积.求:n的值.          (1985年上海市初中数学竞赛题)解:设9n2+5n+26=m(m+1),m为正整数.       m2+m-(9n2+5n)=26.(把左边化为积的形式,先配方再分解因式)(m+)2-(3n+)2=26+,(m++3n+)(m+-3n-)=25,去分母并整理得:(3m+9n+4)(3m-9n-1)=230.    ∵230=1×230=2×115=5×46=10×23,且3m+9n>3m-9n..∴;  或  ;或

7、;   或 .解方程组,正整数的值只有 n=2或 n=6.例6. 已知:方程x2-2(m+1)x+m2=0有两个整数根,且12<m<60.求:m的整数值.解:要使一元二次方程有整数解,必须△为完全平方数.△=[-2(m+1)]2-4m2=8m+4=4(2m+1).即当2m+1是完全平方数时,方程有整数解.∵12

8、数解50,32.答:当m=24或m=40时, 方程x2-2(m+1)x+m2=0有两个整数根.丙练习541.已知x2-y2=1991, 则x, y的正

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