遵义专版2018年中考总复习第三编专训4：第4节存在性问题含考点分类汇编详解

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1、第四节　存在性问题这类问题是近几年来各地中考的“热点”．解决存在性问题就是：假设存在→推理论证→得出结论．若能导出合理的结果，就作出“存在”的判断，导出矛盾，就作出不存在的判断．尤其以二次函数中的是否存在相似三角形、三角形的面积相等、等腰(直角)三角形、平行四边形作为考查对象是中考命题热点．这类题型对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对知识、能力的一次全面的考查．,中考重难点突破)【例1】(汇川中考模拟)抛物线y＝x2－x＋2与x轴交于A，B两点(OA

2、P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为ts(0

3、△CDE∽△CBO得到＝，即＝，求得＋有最小值1，即可求得结果；②存在，求得抛物线y＝x2－x＋2的对称轴为直线x＝3，设F(3，m)，当△EFP为直角三角形时，①当∠EPF＝90°时，②当∠EFP＝90°时，③当∠PEF＝90°时，根据勾股定律列方程即可求得结果．2·1·c·n·j·y【答案】解：(1)在抛物线的解析式中，令y＝0，得x2－x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝4.∵OA

4、，∴DE＝4－2t，∴＋＝＋＝＝，∵0

5、＝x2＋(k－1)x－k与直线y＝kx＋1交于A，B两点，点A在点B的左侧．21·世纪*教育网(1)如图①，当k＝1时，写出A，B两点的坐标；(2)在(1)的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；www-2-1-cnjy-com(3)如图②，抛物线y＝x2＋(k－1)x－k(k>0)与x轴交于点C，D两点(点C在点D的左侧)，在直线y＝kx＋1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．　解：(1)当k＝1时，抛物线的解析式为y＝x2－1，直线的解析式为y

6、＝x＋1.联立两个解析式，得x2－1＝x＋1，解得x＝－1或x＝2，当x＝－1时，y＝x＋1＝0；当x＝2时，y＝x＋1＝3，∴A(－1，0)，B(2，3)；(2)设P(x，x2－1)．如图①所示，过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F(x，x＋1)．∴PF＝(x＋1)－(x2－1)＝－x2＋x＋2.S△ABP＝S△PFA＋S△PFB＝PF(xF－xA)＋PF(xB－xF)＝PF(xB－xA)＝PF，www.21-cn-jy.com∴S△ABP＝(－x2＋x＋2)＝－＋，当x＝时，yP＝x2－1＝－.∴△ABP面积最大值为，此时点P坐标为；(3)存在，理由

7、如下：设直线AB：y＝kx＋1与x轴，y轴分别交于点E，F，则E，F(0，1)，OE＝，OF＝1.在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF＝＝.令y＝x2＋(k－1)x－k＝0，即(x＋k)(x－1)＝0，解得x＝－k或x＝1，∴C(－k，0)，OC＝k.设以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时∠OQC＝90°.设点N为OC中点，连接NQ，如图②所示，则NQ⊥EF，NQ＝CN＝ON＝，∴EN＝OE－ON＝－.∵∠NEQ＝∠FEO，∠EQN＝∠EOF＝90°，∴△EQN∽△EOF，∴＝，即＝，∴k＝±.∵k>0，∴k＝，∴当k＝时，存在唯一一点Q

8、，使得∠OQC＝90°.◆中考真题区2