第十一章概率练习题及答案

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1、典型例题一例1今有标号为1、2、3、4、5的五封信，另有同样标号的五个信封，现将五封信任意地装入五个信封中，每个信封一封信，试求至少有两封信与信封标号一致的概率．分析：至少有两封信与信封的标号配对，包含了下面两种类型：两封信与信封标号配对；3封信与信封标号配对；4封信与信封标号配对，注意：4封信配对与5封信配对是同一类型．现在我们把上述三种类型依次记为事件，可以看出两两互斥，记“至少有两封信与信封标号配对”为事件，事件发生相当于有一个发生，所以用公式可以计算.解：设至少有两封信配对为事件，恰好有两封信配对为事件，恰有3封信配对为事件，恰有4封信（也就是5封信）配对为事件，则事件等于事件

2、，且事件为两两互斥事件，所以．5封信放入5个不同信封的所有放法种数为，其中正好有2封信配对的不同结果总数为正好有3封信配对的不同结果总数为正好有4封信（5封信）全配对的不同结果总数为1，而且出现各种结果的可能性相同，说明：至少有两封信与信封配对的反面是全不配对和恰好有1封信配对，但是配对越少，计算该结果的所有方法总数越困难，即计算该事件的概率越不方便．现在把问题改为计算“至多两封信与信封标号配对”的概率是多少？我们转化为求其对立事件的概率就简单得多，它的对立事件为“3封信配对或4封信（即5封）配对”，得到其结果的概率为，在计算事件的概率时有时采用“正难则反”的逆向思维方法，直接计算事件

3、的概率比较难，而计算其对立事件的概率比较容易时可采用这种方法．典型例题七例7　射手张强在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为，，，，．计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或9环的概率；(2)至少射中7环的概率；(3)射中环数不足8环的概率．分析：“射中10环”，“射中9环”，…“射中7环以下”是彼此互斥事件，可运用“事件的和”的概率公式求解．解：设“射中10环”、“射中9环”、“射中8环”、“射中7环”、“射中7环以下”的事件分别为、、、、，则(1)，所以射中10环或9环的概率为．(2)，所以至少射中7环的概率为．(3)，所以射中环数不足8环的概率为．说明

4、：公式只有在、两事件互斥时才使用，如果、两事件不互斥，就不能应用这一公式，一定要注意这一公式应用的前提是、两个事件互斥．典型例题三例3有4个红球，3个黄球，3个白球装在袋中，小球的形状、大小相同，从中任取两个小球，求取出两个同色球的概率是多少？分析：与倒2中取球方式不同的是，从中取出两球是不放回的取出．处理上，例2是分步取球，先取哪个后取哪个是有区别地对待，而本例中，只要搞清是取的什么球，直接用组合数列式．取出两个同色球可以分成下面几个类型：两个红球；两个黄球；两个白球．解：从10个小球中取出两个小球的不同取法数为“从中取出两个红球”的不同取法数为，其概率为“从中取出两个黄球”的不同取

5、法数为，其概率为“从中取出两个白球”的不同取法数为，其概率为所以取出两个同色球的概率为：说明：本题求取出两个同色球的概率，对结果比较容易分类，如果换上“取出3个球，至少两个同颜色”，这样的问题分类相对就比较复杂，在此我们不一一列出，但考虑其反面，对立事件为“取出3个球，颜色全不相同”，对立事件的概率比较容易算出．取出3个球，颜色全不相同的所有不同取法数为（种），对立事件的概率为，所以“取出3个球，至少两个同颜色”的概率为：典型例题九例9　小明的袋中放有3个伍分硬币、3个贰分硬币和4个壹分硬币，从中任取3个，求总数超过8分的概率．分析1：视其为互斥事件，进而求概率．解法1：(1)记“总数

6、超过8分”为事件，它包括下列四种情况：①“取到3个伍分硬币”记为事件；②“取到2个伍分硬币和1个贰分硬币”为事件；③“取到2个伍分硬币和1个壹分硬币”为事件；④“取到１个伍分硬币和2个贰分硬币”为事件．，，，．根据题意，、、、彼此互斥，故所求概率．分析2：视其为等可能事件，进而求概率．解法2：从10个硬币中取3个，共有种不同方法．“总数超过8分”的共有以下四种情况：①取3个伍分硬币，共有种方法；②取2个伍分硬币和1个贰分硬币，共有种方法；③取2个伍分硬币和1个壹分硬币，共有种方法；④取１个伍分硬币和2个贰分硬币，共有种不同方法，所以“总数超过8分”共有种方法．∴总数超过8分的概率为．说

7、明：复杂的等可能事件的概率可化为彼此互斥的简单事件来求，要注意分类的不重、不漏．典型例题二例2袋中装有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：（1）3只全是红球的概率，（2）3只颜色全相同的概率，（3）3只颜色不全相同的概率，（4）3只颜色全不相同的概率．分析：有放回地抽3次的所有不同结果总数为，3只全是红球是其中的1种结果，同样3只颜色全相同是其中3种结果，全红、全黄、全白，用求等可能事件的概率方式可以求它们的概