2007年广东省广州市青年教师高中数学解题比赛决赛试题

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1、第一部分    选择题（共50分） 　　一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．请将答案代号填在答题卷的相应位置上．  　　1．已知点A（－1，0）、B（1，3），向量，若，则实数k的值为 　　A．－2        B．－1        C．1        D．2 　　2．设，，，则下列关系中正确的是 　　A．                          B．   　　C．                          D． 　　3．已知圆被直线所截得的弦长为，则实数a的值为 　　A．0或4      

2、                        B．1或3           　　C．－2或6                            D．－1或3 　　4．已知为平面，命题p：若，则；命题q：若上不共线的三点到的距离相等，则．对以上两个命题，下列结论中正确的是 　　A．命题“p且q”为真　　　　B．命题“p或”为假 　　C．命题“p或q”为假　　　　D．命题“”且“”为假 　　5．设，且，则等于 　　A．                        B．     　　C．                          D． 　　6．椭圆的四个顶点为A、B、C、D，

3、若四边形ABCD的内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率是 　　A．         B．         C．        D． 　　7．已知函数的大致图像如图所示，则函数的解析式应为 　　　　　　　　 　　A．              B． 　　　　C．              D． 　　8．设x，y满足约束条件则的取值范围为 　　A．          B．        C．         D． 　　9．如图，所在的平面和四边形所在的平面互相垂直，且，，，，若，则点在平面内的轨迹是 　　　　　　　　 　　A．圆的一部分       B．椭圆的一部分 　　C．双曲线的一部分

4、   D．抛物线的一部分 　　10．已知满足方程，则的最大值是 　　A．4         B．2       C．          D． 　　第二部分     非选择题（共100分） 　　二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．请将答案填在答题卷的相应位置上． 　　11．等差数列有如下性质：若是等差数列，则数列也是等差数列．类比上述性质，相应地，若是正项等比数列，则数列_______________也是等比数列． 　　12．已知集合，，若，则m所能取的一切值构成的集合为           ． 　　13．在△ABC中，若，则_____________． 　　14．在四面体

5、ABCD中，已知AB＝CD＝5，AC＝BD＝5，AD＝BC＝6．则四面体ABCD的体积为            ；四面体ABCD外接球的面积为           ．  　　三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 　　15．（本小题满分12分） 　　已知向量，，函数． 　　 （Ⅰ）求函数的最小值以及取得最小值时的值； 　　 （Ⅱ）求函数的单调递增区间． 　　16．（本小题满分12分） 　　箱中装有12张大小、重量一样的卡片，每张卡片正面分别标有1到12中的一个号码，正面号码为的卡片反面标的数字是．（卡片正反面用颜色区分） 　　（Ⅰ）如果任意取出一张

6、卡片，试求正面数字不大于反面数字的概率； 　　（Ⅱ）如果同时取出两张卡片，试求他们反面数字相同的概率． 　　17．（本小题满分14分） 　　如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝a，又PA⊥平面ABCD，PA＝4．   （Ⅰ）若在边BC上存在一点Q，使PQ⊥QD，求a的取值范围； 　　（Ⅱ）当边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角A－PD－Q的余弦值． 　　　　　　　　 　　18．（本小题满分14分） 　　已知函数（，）． 　　（Ⅰ）求函数的极值； 　　（Ⅱ）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围． 　　19．（本小题满分14分） 　　已知点（x，y）在椭圆C：（的第一象限上

7、运动． 　　（Ⅰ）求点的轨迹的方程； 　　（Ⅱ）若把轨迹的方程表达式记为，且在内有最大值，试求椭圆C的离心率的取值范围． 　　20．（本小题满分14分） 　　已知正项数列的前项和，． 　　（Ⅰ）求数列的通项公式； 　　（Ⅱ）定理：若函数在区间D上是凹函数，且存在，则当时，总有． 　　请根据上述定理，且已知函数是上的凹函数，判断与的大小； 　　（Ⅲ）求证：． 　　参考答案  　　一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．