高中数学 1-2 第2课时等比数列的性质同步导学案 北师大版必修5

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1、第2课时　等比数列的性质知能目标解读1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质和由来.2.理解等比数列的性质及应用.3.掌握等比数列的性质并能综合运用.重点难点点拨重点：等比数列性质的运用.难点：等比数列与等差数列的综合应用.学习方法指导1.在等比数列中，我们随意取出连续三项及以上的数，把它们重新依次看成一个新的数列，则此数列仍为等比数列，这是因为随意取出连续三项及以上的数，则以取得的第一个数为首项，且仍满足从第2项起，每一项与它的前一项的比都是同一个常数，且这个常数量仍为原数列的公比，所以，新形成的数列仍为等比数列.2.在等比数列中，我们任取下角标成等差的三项及以上的数，按

2、原数列的先后顺序排列所构成的数列仍是等比数列，简言之：下角标成等差，项成等比.我们不妨设从等比数列{an}中依次取出的数为ak,ak+m,ak+2m,ak+3m,…,则===…=qm(q为原等比数列的公比)，所以此数列成等比数列.3.如果数列{an}是等比数列，公比为q,c是不等于零的常数，那么数列{can}仍是等比数列，且公比仍为q;{

3、an

4、}也是等比，且公比为

5、q

6、.我们可以设数列{an}的公比为q,且满足=q,则==q,所以数列{can}仍是等比数列，公比为q.同理，可证{

7、an

8、}也是等比数列，公比为

9、q

10、.4.在等比数列{an}中，若m+n=t+s且m,n,t

11、,s∈N+则aman=atas.理由如下：因为aman=a1qm-1·a1qn-1=a21qm+n-2,atas=a1qt-1·a1qs-1=a21qt+s-2,又因为m+n=t+s,所以m+n-2=t+s-2,所以aman=atas.从此性质还可得到，项数确定的等比数列，距离首末两端相等的两项之积等于首末两项之积.5.若{an}，{bn}均为等比数列，公比分别为q1,q2,则（1）{anbn}仍为等比数列，且公比为q1q2.(2){}仍为等比数列，且公比为.理由如下：（1）=q1q2,所以{anbn}仍为等比数列，且公比为q1q2;(2)·=,所以｛}仍为等比数列，且公比为

12、.知能自主梳理1.等比数列的项与序号的关系（1）两项关系通项公式的推广：an=am·(m、n∈N+).(2)多项关系项的运算性质若m+n=p+q(m、n、p、q∈N+)，则am·an=.特别地，若m+n=2p(m、n、p∈N+），则am·an＝.2.等比数列的项的对称性有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积（若有中间项则等于中间项的平方），即a1·an＝a2·=ak·=a2(n为正奇数).［答案］　1.qn-m　ap·aq　a2p2.an-1　an-k+1思路方法技巧命题方向　运用等比数列性质an=am·qn-m(m、n∈N+)解题［例1］　在等比数列

13、{an}中，若a2=2,a6=162,求a10.［分析］　解答本题可充分利用等比数列的性质及通项公式，求得q,再求a10.［解析］　解法一：设公比为q,由题意得a1q=2a1=a1=-，解得，或.a1q5=162q=3q=-3∴a10=a1q9=×39=13122或a10=a1q9=-×（-3）9=13122.解法二：∵a6=a2q4,∴q4===81,∴a10=a6q4=162×81=13122.解法三：在等比数列中，由a26=a2·a10得a10===13122.［说明］　比较上述三种解法，可看出解法二、解法三利用等比数列的性质求解，使问题变得简单、明了，因此要熟练掌握等

14、比数列的性质，在解有关等比数列的问题时，要注意等比数列性质的应用.变式应用1　已知数列{an}是各项为正的等比数列，且q≠1,试比较a1+a8与a4+a5的大小.［解析］　解法一：由已知条件a1>0,q>0，且q≠1,这时(a1+a8)-(a4+a5)=a1(1+q7-q3-q4)=a1(1-q3)·（1-q4）=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q+q2+q3)>0,显然，a1+a8>a4+a5.解法二：利用等比数列的性质求解.由于(a1+a8)-(a4+a5)=(a1-a4)-(a5-a8)=a1(1-q3)-a5(1-q3)=(1-q3)(a1-a5).当0

15、时，此正数等比数列单调递减，1-q3与a1-a5同为正数，当q>1时，此正数等比数列单调递增，1-q3与a1-a5同为负数，∵(a1+a8)-(a4+a5)恒正.∴a1+a8>a4+a5.命题方向　运用等比数列性质am·an=apaq(m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q)解题［例2］　在等比数列{an}中，已知a7·a12=5，则a8·a9·a10·a11=（　　）A.10　　　　　　　　B.25　　　　　　　　C.50　　　　　　　　D.75［分析］　已知等比数列中两项的积的问题，常常离不开等比数