高中数学北师大版选修1-1第三章《导数在实际问题中的应用》word教案2

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1、导数在实际问题中的应用目标认知学习目标:  1.会从几何直观了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间,对多项式函数一般不超过三次.  2.了解函数在某点取得极值的必要条件(导数在极值点两端异号)和充分条件();会用导数求函数的极大值、极小值,对多项式函数一般不超过三次.  3.会求闭区间上函数的最大值、最小值,对多项式函数一般不超过三次.重点: 利用导数判断函数单调性;函数极值与最值的区别与联系.会求一些函数的(极)最大值与(极)最小值难点: 利用导数在解决函数问题时有关

2、字母讨论的问题.知识要点梳理知识点一:函数的单调性(一)导数的符号与函数的单调性:  一般地,设函数在某个区间内有导数,则在这个区间上,若,则在这个区间上为增函数;若,则在这个区间上为减函数;若恒有,则在这一区间上为常函数.反之,若在某区间上单调递增,则在该区间上有恒成立(但不恒等于0);若在某区间上单调递减,则在该区间上有恒成立(但不恒等于0).  注意:1.若在某区间上有有限个点使,在其余点恒有,则仍为增函数(减函数的情形完全类似).即在区间(a,b)内,(或)是在(a,b)内单调递增(或减)的充分不

3、必要条件!例如:而f(x)在R上递增.  2.学生易误认为只要有点使,则f(x)在(a,b)上是常函数,要指出个别导数为零不影响函数的单调性,同时要强调只有在这个区间内恒有,这个函数在这个区间上才为常数函数.3.要关注导函数图象与原函数图象间关系.(二)利用导数求函数单调性的基本步骤:  1.确定函数的定义域;  2.求导数;  3.在定义域内解不等式,解出相应的x的范围;   当时,在相应区间上为增函数;  当时在相应区间上为减函数.  4.写出的单调区间.知识点二:函数的极值(一)函数的极值的定义 一

4、般地,设函数在点及其附近有定义,(1)若对于附近的所有点,都有,则是函数的一个极大值,记作;  (2)若对附近的所有点,都有,则是函数的一个极小值,记作.  极大值与极小值统称极值.  在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值.  注意:由函数的极值定义可知:(1)在函数的极值定义中,一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义,否则无从比较.(2)函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的,是一个局部概念;在函数的整个定义域内可能有多个极值,也可能无极值.由定义,极

5、值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点.(5)可导函数在某点取得极值,则该点的导数一定为零,反之不成立.即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件.在函数取得极值处,如果曲线有切线的话,则切线是水平 的

6、,从而有.但反过来不一定.如函数y=x3,在x=0处,曲线的切线是水平的,但这点不是函数的极值点.(二)求函数极值的的基本步骤:  ①确定函数的定义域; ②求导数; ③求方程的根;  ④检查在方程根左右的值的符号,如果左正右负,则f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)知识点三:函数的最大值与最小值(一)函数的最大值与最小值定理  若函数在闭区间上连续,则在上必有最大值和最小值;在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如.(二)求函数最值的的基本步

7、骤:  若函数在闭区间有定义,在开区间内有导数,则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下:(1)求函数在内的导数 (2)求在内的极值;  (3)求在闭区间端点处的函数值,;  (4)将的各极值与,比较,其中最大者为所求最大值,最小者为所求最小值.(三)最值理论的应用  解决有关函数最值的实际问题,导数的理论是有力的工具,基本解题思路为:  (1)认知、立式:分析、认知实际问题中各个变量之间的联系,引入变量,建立适当的函数关系;  (2)探求最值:立足函数的定义域,探求函数的最值;  (3)检验、作答:利用实

8、际意义检查(2)的结果,并回答所提出的问题,特殊地,如果所得函数在区间内只有一个点满足,并且在点处有极大(小)值,而所给实际问题又必有最大(小)值,那么上述极大(小)值便是最大(小)值.规律方法指导  (1)利用导数讨论函数的单调区间,首先要确定函数的定义域D,并且解决问题的过程中始终立足于定义域D.若由不等式确定的x的取值集合为A,由确定的x的取值范围为B,则应有.如:.  (2)最值与极值的区别与联系:    ①函数的最大

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