2014人教a版高中数学必修四 第二章 平面向量 《平面向量应用举例》学习过程

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1、平面向量应用举例学习过程知识点一：平面几何中的向量方法用向量方法解决几何问题的“三步曲”（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系。知识点二：向量在物理中的应用注意两方面：（1）体会如何把物理问题转化成数学问题，即如何将物理量间的关系抽象成数学模型（2）如何利用数学模型的解来解释相应的物理现象。学习结论（1）向量在解决某些几何问题时具有优越性。(2)明确用向量方法解决几何问题的“三步曲”。典型例题例1.如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角

2、三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的余弦值（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离．[思路分析]本题中的三条棱两两垂直，故可以此建立空间直角坐标系．将线面所成角转化为线线所成角，从而运用向量的数量积可得所求；对于（Ⅱ）中的点面距离，首先应该考察过这点垂直于面的直线．在上述想法不可行的情况下再考虑体积法等其它方法．解析：（Ⅰ）点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，所以，就是直线A1B与平面ABD所成的角．因为两两垂直，所以，如图建立空间直角坐标系，若设CA=2a，则有：，

3、，，，，．所以，．因为，所以，，所以，，所以，．图2－7－6所以，，又，所以，根据数量积的定义可知：．所以，A1B与平面ABD所成的角的余弦值为．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，，所以，，所以，．所以，．又，所以，．过点作于K，则就是点A1到平面AED的距离．在等腰中，，，所以，边上的高h＝，所以，．所以，点A1到平面AED的距离为．例2.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵

4、袭？OPP’r(t)东北图2－7－9[思路分析]速度（既有大小，又有方向）、距离都可以用向量很好的表达，所以，本题可以看作是一道向量的应用问题．下面，我们尝试用向量的观点来解答本题．解析：以O为原点，分别以东、北方向为x轴正半轴方向、y轴正半轴方向如图建立直角坐标系，则当前台风中心的位置向量；台风中心的速度向量为．设小时时台风中心的位置为，且该城市开始受到台风侵袭．若以表示小时时台风侵袭区域的半径，则（单位为km）．城市受台风侵袭等价于≤．而，令≤，得：，解之得：．所以，12小时后城市O开始受台风侵袭．