实验四 导弹跟踪问题

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1、实验四导弹跟踪问题一．实验目的本实验主要涉及常微分方程。通过实验复习微分方程的建模和求解，介绍两种求解微分方程的数值方法：Euler法和改进的Euler法，还介绍了仿真方法。二．实际问题某军的一导弹基地发现正北方向120km处海面上有敌艇一艘以90km/h的速度向正东方向行驶。该基地立即发射导弹跟踪追击敌艇，导弹的速度为450km/h，自动导航系统使导弹在任一时刻都能对准敌艇。试问导弹在何时何处击中敌艇？三．数学模型设坐标系如下，取导弹基地为原点0（0,0）。轴指向正东方，y轴指向正北方。当t=0时，导弹位于O，敌艇位于点（0，H），（H=120（km））设导弹t时刻的位置为P（）

2、，由题意，（4.1）其中。另外在t时刻，敌艇位置应该为，其中=90（km/h）。由于导弹轨迹的切线方向必须指向敌艇，即直线PM的方向就是导弹轨迹上点P的切线方向，故有（4.2）（4.3）方程（4.3）初值条件想x（0）=0，y（0）=0(4.4)构成了一个关于时间变量t的一阶微分方程组的初值问题。由（4.2）得两边对t求导得即有把（4.1）写为代入上式，就得到轨迹方程。这是一个二阶非线性微分方程，加上初值条件，则初值问题上式分别为（4.5），（4.6），（4.7）。就是导弹的轨迹的数学模型。四．解释方法方程（4.5）可以降阶。令，则式（4.5）化为一介可分离变量方程易得由式（4.7

3、）得，从而于是有（4.8）于是积分又可以得到利用式（4.6）得,于是导弹轨迹方程为（4.9）设导弹击中敌艇于B（L，H），以y=H代入（4.9）得（4.10）而导弹击中敌艇的时刻（4.11）将数据代入（4.10），（4.11）式，得L=25（km），T0.2778（h）五．数值方法1.Euler方法Euler方法十分简单，就是用差商代替微商，即将代之以，而将代之以。设导弹到达（）处的时刻为tk，那么得到计算的迭代格式为上式分别为（4.15）（4.16）（4.17）于是使用MATLAB，编辑文件m4_.m：functionm4_1(n)H=120;h=H/n;lamda=90/450

4、;x(1)=0;p(1)=0;y=0:h:H;fori=0:n-1x(i+2)=x(i+1)+h*p(i+1);p(i+2)=p(i+1)+h*(lamda*sqrt(1+p(i+1)^2)/(H-y(i+1)));end[x；p]’L=x(n+1)T=x(n+1)/90输入m4_1（4）得到ans=0000.05001.50000.11675.00250.217411.52540.4221L=11.5254T=0.1281使用MATLAB，建立m4_2.m：functionm4_2(N)k=1;forn=NH=120;h=H/n;lamda=90/450;x0=0;p0=0;fo

5、ri=0:n-1x1=x0+h*p0;p1=p0+h*(lamda*sqrt(1+p0^2)/(H-i*h));x0=x1;p0=p1;endL(k)=x1;T(k)=x1/90;k=k+1;end[N;L;T]'键入m4_2([4,8,12,24,48,96,120,240])得到ans=4.000011.52540.12818.000015.95370.177312.000017.97320.199724.000020.55080.228348.000022.24940.247296.000023.32860.2592120.000023.58030.2620240.00002

6、4.15100.2683由方程（4.1），（4.3）解出的表达式，取时间步长，对应时导弹轨迹上点的坐标为，则Euler格式为上式分别为（4.21）（4.22）（4.23）当计算到即停止，于是，使用matlab，编辑m文件：functionm4_3(t)H=120;Ve=90;Vw=450;x(1)=0;y(1)=0;T(1)=0;fori=1:10e6M=(Ve*T(i)-x(i))/(H-y(i));x(i+1)=x(i)+Vw*t/sqrt(1+1/M.^2);y(i+1)=y(i)+Vw*t/sqrt(1+M.^2);T(i+1)=t+T(i);ify(i+1)>=Hbrea

7、k;endend[T;x;y]'L=x(i+1)T=x(i+1)/Vem4_3(0.1)>Inm4_3at6ans=0000.1000045.00000.20005.361589.67950.300022.6750131.2155L=22.6750T=0.2519m4_3(0.05)Warning:Dividebyzero.>Inm4_3at6ans=0000.0500022.50000.10001.037444.97610.15003.412167.35040.20