高一数学必修一辅导练习册读本第2章

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1、1　“函数”概念辨析一、表达式相同的两个函数是否是同一函数？答　很多同学容易把具有相同表达式的两个函数看作是同一个函数．其实，由函数的表达式相同，只能知道它们的对应法则相同，但还有定义域是否相同的问题．例如，f(x)＝3x＋1(x∈R)与g(x)＝3x＋1(x∈Z)，尽管f(x)和g(x)的表达式相同，但由于它们的定义域分别为R和Z，故它们是不同的两个函数．二、定义域和值域分别相同的两个函数是否相等？答　有些同学认为，两个函数的定义域和值域分别相同，那么这两个函数必相等．其实不然，例如，f(x)＝x，x∈{0,1}，g(x)＝(x－1)2，x∈{0,1}，这两个函数定义域和值域分别相

2、同，但由于f(0)≠g(0)，f(1)≠g(1)，即当自变量x取相同值x0时，f(x0)≠g(x0)，故f(x)≠g(x)．事实上，两个函数相等的意义也可叙述为：如果两个函数f(x)和g(x)的定义域为D，且对于任意x0∈D，都有f(x0)＝g(x0)，那么f(x)＝g(x)．三、函数的定义域可以是空集吗？答　教材中指出：“设A，B是非空的数集，……”．由此，不存在定义域为空集的函数．当函数存在(给定)时，则其定义域一定不是空集；反之，当定义域为空集时，这样的函数不存在．四、y＝0是函数式吗？答　很多同学都认为y＝0不是函数式，其理由是：函数定义中有两个变量x和y，而在y＝0中只有一

3、个变量y.从形式上来看，y＝0中只出现了一个变量y，但我们知道，0与任何实数的乘积仍为0，因此，变量y＝0就是y＝0·x，另一个变量x不是出现了吗？根据函数的定义，集合A＝{x

4、x∈R}显然满足函数的定义，即不论x取何值，y都有唯一确定的值0与之对应，因此，按函数的定义，y＝0是函数式．同理，对任意实数m，y＝m也是函数式，只要把它写成y＝m＋0·x就清楚了．五、用解析法表示函数时，一个函数可以有两个或多个解析式吗？如果有，各解析式对自变量有何限制？函数定义域如何得到？答　可以有两个或两个以上的解析式，这样的函数称为分段函数，但各解析式对自变量的取值范围不能出现公共部分，这时函数的定

5、义域就是各个解析式中自变量取值范围所确定的集合的并集．六、为什么说函数的解析式和定义域给出之后，它的值域相应就被确定了？答　因为函数的定义域是自变量x的取值范围的集合，而函数的解析式就是确定函数关系，在这个关系下，每一个x都有唯一的y与之对应，因此可由定义域确定值域.2　诠释函数“三要素”构成函数的要素为定义域、对应法则“f”、值域三者．因此，这里我们把“定义域、对应法则、值域”称为函数的“三要素”．对于初学者来说，理解好函数的“三要素”极为重要．在“三要素”中函数的定义域可称得上是函数的灵魂，做任何函数题都首先要考虑到函数的定义域，定义域不同，不管对应法则、值域是否相同，都是不同函

6、数．如：(1)y＝x＋1，x∈R；(2)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(3)y＝x＋1，x∈[1,5]．这三个函数是不同的函数．所以，要弄清楚函数的有关问题，首先要弄清楚定义域．一、定义域1．函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示．2．求函数定义域的方法，主要有如下三类：(1)有函数解析式时求函数定义域：只需使函数有意义即可．例1求y＝＋的定义域．解　由题意知，从而解得x≥－2且x≠4，故所求定义域为[－2,4)∪(4，＋∞)．(2)没有具体解析式时，根据已知函数定义域求解，即视为整体来求解．例2已知函数y＝f(x＋1)的定义域为(－1,1)，求函数

7、y＝f(x)的定义域．解　令t＝x＋1，∵－1＜x＜1，∴0＜t＜2，∴f(t)的定义域为(0,2)，即所求定义域为(0,2)．(3)应用题当中，需满足问题所包含的实际意义．例3一等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，求其解析式和定义域．解　由题意知解析式为y＝20－2x，又因为构成三角形必须有2x＞y，y＞0，x＞0，解得5＜x＜10，所以定义域为(5,10)．特别提示　求定义域时要使每个式子都有意义，所以通常取交集．二、对应法则一般地说，在函数f(x)符号中，“f”表示对应法则，等式y＝f(x)表明对于定义域中的任意的x值，在对应法则“f”的作用下，可得到值域中唯一

8、的y值．因此，“f”是使“对应”得以实现的方法和途径，是联系x与y的纽带，从而也就是函数的核心．特别地，f(a)表示自变量x＝a时所得的函数值，是一个常量；而f(x)称为变量x的函数，在通常情况下，它是一个变量．例4已知函数f(x)＝x2－2x，求f(1)、f(a)、f(2x)．解　f(1)＝－1，f(a)＝a2－2a，f(2x)＝4x2－4x.特别提示　对于函数来说，即使定义域相同，值域相同，对应法则不同，也是不同函数．如：(1)y＝x＋1，x∈R，(2