傅里叶分析应用于热传导问题

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1、傅里叶分析应用于热传导问题（物理系郭素梅指导教师陆立柱）〔摘要〕傅里叶分析是一种重要的数学工具，本文综述了用傅里叶分析解决细杆的热传导问题，并进行了讨论。傅里叶分析包括傅里叶级数和傅里叶积分，用傅里叶级数法解决有界细杆的热传导问题，用含参数的傅里叶变换法解决无界细杆的热传导问题，比其它方法更系统，体现出一种数学与物理对应的美感。〔关键词〕傅里叶级数傅里叶积分傅里叶变换细杆的热传导问题引言1822年，傅里叶在研究热传导问题时，创造了傅里叶分析，随着时代的进步，这一数学工具被广泛地应用于信号分析、匹配滤波、图象处理等方面,掌握这种具有广泛用途和发展前景的工具是十分必要的.热传导是

2、历来研究的热点，尤其是随着计算机电子设备的高集成化发展，机器内发热部件和集成电路元件的发热量随之增加，传统的强制冷方式已不能达到理想效果，因此，热传导设计成了重要问题。万变不离其宗，为了更好地掌握傅里叶分析，为了更好地掌握热传导问题，本文就一维热传导问题对傅里叶分析作了全面详尽的论述。1.傅里叶分析1.1傅里叶级数傅里叶级数在应用上有以下优点：能表示不连续的函数、周期函数，能对任意函数作调和分析。若函数以为周期，即(1.1.1)13则可取三角函数族1，cos,cos,…cos，…sin,sin,…sin，…(1.1.2)作为基本函数族，将展开为级数=+cos+cos)(1.1

3、.3)可以证明，函数族（1.1.2）是正交完备的。根据三角函数族的正交性，可求得（1.1.3）中的展开系数为（1.1.4）其中(1.1.3)称为周期函数的傅里叶级数展开式，其中的展开系数（1.1.4）称为傅里叶系数。关于傅里叶级数的收敛性问题，有Dirichlet定理。若周期函数是奇函数，则由傅里叶系数计算公式（1.1.4）可见，及诸均等于零，展开式(1.1.3)为=,13(1.1.5)这叫做傅里叶正弦级数。由于对称性，其展开系数为（1.1.6）同理，若周期函数是偶函数，则=+(1.1.7)这叫做傅里叶余弦级数，其中，（1.1.8）对于只在有限区间，例如在上有定义的函数,可采

4、取延拓的方法，使其成为某种周期函数，而在上，。然后再对作傅里叶级数展开，其级数和在区间上代表f(x),由于f(x)在x=0和x=l无定义，因此可以有无数种延拓方式，因而有无数种展开式，它们在上均代表.有时，对函数在边界（区间的端点）上的行为提出限制，即满足一定的边界条件，这常常就决定了如何延拓。例如要求这时应延拓为奇的周期函数，因为sin│=0,sin∣=0;又如要求这时应延拓为偶的周期函数，因为余弦级数的和的导数在和为零。对于函数u(x,t),-l

5、展开系数不是常数，而是关于t的函数，(1.1.10)1.2傅里叶积分一般说来，定义在区间（-∞

6、里叶积分，(1.2.1)称为非周期函数f(x)的傅里叶积分表达式。(1.2.2)称为f(x)的傅里叶变换式。对f(x)的条件，有傅里叶积分定理。复数形式的傅里叶积分为:f(x)=F(ω)dω(1.2.3)F(ω)=f(x)dx(1.2.4)1.3含参数的傅里叶变换对于函数u(x,t),(-∞

7、　　　　　２．细杆的热传导问题　　　　　　　13由于温度不均匀，热量从温度高的地方向温度低的地方转移，这种现象叫做热传导。在细杆的热传导问题中研究的是温度在一维空间中的分布和在时间中的变化u(x,t)。应用热传导定理和能量守恒定律，可导出可导出热传导方程：　　　　　　　　　　　　(无热源、汇)(有热源、汇)　　　　　还需初始条件　　　　　　　　　　　　u(x,t)

8、=(x)和三类边界条件：第一类　　u(x,t)

9、=ψ(t)　　　　　　　第二类u(x,t)

10、=ψ(t)　　　　　　　第三类u(x,t)

11、+H