第二小组 航空、航天飞行器材料的优化设计

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1、航空、航天飞行器材料的优化设计问题摘要航空、航天飞行器材料的强度问题主要与材料的工艺过程的多个因素有关，这是一个多因素多水平问题。首先，做出了合理的模型假设，结合试验数据，建立了多元线性回归模型，采用最小二乘法求得各因素的回归系数，并利用该模型分析了试验结果；其次，根据上述模型，采用穷举法找出了理想条件下强度最大时的工艺条件，进而在分析B、C、D、E因素间相互制约关系的基础上，得出了冲突条件下最优工艺条件；接着，通过假设检验分析了模型假设的合理性和模型的可靠性，并对模型进行了残差分析和拟合优度分析，建立了方差的多元线性回归模型，得出了相同强度下最稳定的工艺

2、条件；再次，采用逐步回归方法分析得到了对强度影响最大的因素，建立了部分因素的多元二项式回归模型，并对该模型进行了残差分析，比较了线性回归模型和二项式回归模型的残差样本均值和残差样本方差；最后提出了正交试验设计计划及其试验结果分析方法。主要结论如下：（1）建立了多元线性回归模型，并对各因素水平值进行标准化。通过最小二乘法对多元线性回归模型求解，结果表明各因素对强度值的影响大小的排序为：E>B>C>F>G>A>D。对实验数据分析结果为：仅考虑强度大小时，第6组最优；兼顾方差和强度时，第18组最优。（2）在（1）的基础上，运用穷举法得出：在理想条件下取A2、B1

3、、C3、D1、E3、F1、G1组合时所得的强度值最大。考虑到B、C、D、E的制约关系，在冲突条件下取A2、B2、C3、D1、E3、F1、G1组合时所得的强度值最大。（3）对多元线性回归模型进行了假设检验，结果表明假设较合理；又进行了残差分析，其残差样本均值和残差样本方差分别为-3.672，9700.481。拟合优度分析结果为0.8021，表明模型的拟合优度较好。（4）逐步回归的结果表明因素E、C对强度的影响最大，由于试验样本较少，分别建立了关于因素E、C和关于因素E、C、B的多元二项式回归模型，计算两者残差样本均值和残差样本方差分别为2.127，7369.

4、894和2.076，4522.151。结果表明：多元二项式回归模型优于多元线性回归模型；考虑因素的交叉作用越多，模型与实际结果越吻合。（5）考虑7个因素的相互交叉，若要建立多元二项式回归模型至少需要35组数据；基于此提出了正交试验设计计划及其试验结果分析方法，正交试验仅需要18组数据。关键词：多元线性回归多元二项式回归残差拟合优度正交试验25一、问题的重述1.1问题背景飞行器发展到80年代已成为机械加电子的高度一体化的产品。它要求使用品种繁多的、具有先进性能的结构材料和具有电、光、热和磁等多种性能的功能材料，通常要求强度高、耐高温、耐磨、抗氧化等。现已知，

5、某材料的工艺过程通常与下面七个因素有关：四种添加剂的总含量；添加剂1的含量；添加剂2与添加剂3的含量之比；添加剂2与添加剂4的含量之比；煅烧温度和煅烧时间。在此，结合影响强度问题的各因素对航空航天飞行器材料工艺的优化设计进行讨论。1.2获得的信息1、各因素说明如下：A:加热方案设计（共2个），两步或一步；（其中“两步”包括“一步”上的预加热阶段）。不妨以A1和A2表示B：四种添加剂的含量（共3种），B1=14%，B2=16%，B3=18%。C：添加剂1的含量（共3种），C1=0.0%，C2=1.0%，C3=2.0%。D：添加剂2与添加剂3的含量之比（共3种

6、），D1=1:1,D2=1:2,D3=1:6。E：添加剂2与添加剂4的含量之比（共3种），E1=2:1,E2=1:1,E3=1:4.F：煅烧温度（共3种），F1=1800摄氏度,F2=1850摄氏度,F3=1900摄氏度.G：煅烧时间（共3种），G1=1小时,G2=2小时,G3=3小时.2、获得最佳工艺条件，已进行一批试验，得到数据见附录表1。1.3需要解决的问题问题一：根据附录表1中的试验测量数据，建立合理的数学模型，并对试验结果进行分析；问题二：寻找使得强度最大的最优工艺条件；问题三：对所建立的模型进行误差分析并做出评价；问题四：对本设计提出一种更合理

7、的试验设计计划及试验结果的分析方法二、模型假设1、设影响强度的各因素之间相互独立；2、设试验数据中强度数值是随机变量且服从正态分布；3、设f(xA，xB，xC，xD，xE，xF，xG，)是线性函数；25三、符号说明——强度值，方程的因变量；——的模拟值；——第个因素的回归系数；——的线性最小方差无偏估计；——是的方差——未知因素对强度的影响值;——残差，；——残差平均值；——残差样本的标准差；di——第i组试验的强度方差；R——相关系数，衡量与相关程度的系数；——残差平方和；——y的样本方差；bnn——为回归模型的回归系数（n=1,2,3，……）；Xim—

8、—第i组试验中影响强度的因素；——残差样本方差。四、模型的建立及求