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1、双曲线性质的推广学生姓名：曹志孟学号：数学与信息科学学院数学与应用数学指导老师：胡余旺职称：教授摘要：双曲面是由双曲线绕实轴或虚轴旋转后再进行伸缩变换而得到的曲面，从双曲线变到双曲面后，双曲线的许多性质也可以继续得到推广，本文将重点讨论双曲线的性质在双曲面中的推广及其应用.关键词：双曲线双曲面性质推广SomecharactersextensionfromhyperbolatohyperboloidAbstract：Thehyperboloidcanbegotfromhyperbolawhenwestretchhyperbol
2、aarounditsrealaxisorimaginaryaxis.Thecharactersofhyperboloidissimilartohyperbola,sosomeofthemareextendedfromhyperbola.Inthispaper,wemainlydiscussthoseextensionKeywords：HyperbolaHyperboloidCharacterextension前言双曲线与双曲面在实际生活中的应用是非常广泛的，目前，人们对双曲线与双曲面的性质都有很多的发现，而双曲面的许多性质是
3、由双曲线推广得到的，在科学技术日新月异的今天，也促使我们对双曲线的性质有进一步的探索、推广，研究双曲线已有的性质以及双曲面的生成过程，找到双曲线与双曲面之间的联系，并在此基础上进一步挖掘，使双曲面的性质更加完善，有更广泛的应用价值.本论文就是基于以上分析而写的.1.定义及图形定义1.1我们把平面内与两个定点F、F的距离差的绝对值等于常数（小于
4、FF
5、）的点的轨迹叫双曲线.双曲线的标准方程（以轴为实轴）为：－＝１（）.定义1.2将双曲线沿虚轴（轴）旋转，得到旋转单叶双曲面，再将图形向10平面伸缩（设比例为），得到新的曲面便是单
6、叶双曲面.单叶双曲面的标准方程是+－＝１，当时，是旋转单叶双曲面－＝１.定义1.3将双曲线沿实轴（轴）旋转，得到旋转双叶双曲面，再将图形向平面伸缩（设比例为），得到新的曲面便是双叶双曲面.双叶双曲面的标准方程是+－＝－１,当时，是旋转双叶双曲面.图1双曲线图2单叶双曲面图3双叶双曲面2、性质的推广2.1定义的推广根据定义1.1，在三维空间中，首先验证一下一动点到两定点的距离之差等于轨迹是否是双曲面.解：设动点的坐标为,两定点的坐标为,根据题意有等式成立,因而10因,令，则轨迹方程为,它是旋转双叶双曲面.由此可见，双曲线的定义
7、从二维推广到三维后只适合旋转双叶双曲面.2.2对称性双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心，由单叶双曲面和双叶双曲面的图形和方程都可以得出他们表示的曲面关于三个坐标平面，三个坐标轴及坐标原点都是对称的，因此原点是他们的对称中心，坐标轴是他们的对称轴，坐标平面是他们的对称平面.因此，对称性推广到三维后仍然适用.2.3顶点定义2.3.1双曲线(以轴为实轴)的顶点是双曲线与轴的两个交点.令得.即双曲线有两个顶点：.同理，对于单叶双曲面，只与轴和轴有交点
8、，令得,得到双曲面与轴的两个交点.令得，得到单叶双曲面与轴的两个交点.即单叶双曲面有4个顶点：，.对于双叶双曲面，只与轴有交点，令得,得到双叶双曲面与轴的两个交点.即双叶双曲面有两个顶点：.2.4分布范围由双曲线的标准方程可知,,,双曲线上的点的坐标都适合不等式,所以,或，说明双曲线在不等式与所表示的区域内，由单叶双曲面方程知，因此，曲面上的点在椭圆柱面的外部或柱面上．由双叶双曲面方程可知，曲面上的点满足10因此,曲面分成两叶与，一叶在平面的上方，另一叶在平面 下方．2.5从渐近线到渐近面的推广定义2.5.1双曲线的渐近线是
9、,也就是双曲线的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近.定理2.5.1双曲面的渐近面方程是.证明：我们将单叶双曲面整理得.将双叶双曲面的方程整理得令(1)(2)设是单叶双曲面或单叶双曲面的渐近方向,则要满足条件又设直线(3),则直线(3)与曲面(1),(2)或者只有一个交点,或者没有交点,或者整条直线在曲面上,所以过点且以渐近方向为方向的一切直线上的点的轨迹是曲面即,这是一个关于的二次齐次方程,所以它是一个以为顶点的锥面,锥面上的每一条母线的方向都是二次曲面的渐近方向,而双曲线的渐近线过坐标原点,由图形可知,双曲面的渐近面的顶
10、点应为,锥面方程即为:,整理得:10得到该二次锥面,我们再从另一方面来考虑他们之间的关系,用平面去截这三个平面,交线方程分别是10和10图4双曲面及其渐近锥面10由此可见,它们的截面都是椭圆,而且这三个椭圆具有相同的中心和对称轴,并且椭圆的半轴分别为10和10这些半轴满足下列关系:,，而且
