至少至多问题_公务员考试_资格考试认证_教育专区

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1、《至少性问题和至多性问题》解决至少性问题和至多性问题的根本思路是分类讨论，但当类别较多时，也可以采用排除法来考虑，利用排除法解决问题时要注意不满足条件的情况有几种，每一种不满足条件的情况如何计算；同时要注意正确理解至少和至多的真正含义，如果能将问题适当的转化，则可以利用数学模型来解决问题例1：将5本不同的书分给3人，每人至少1本，有几种不同的分法？解析：每人至少1本，则出现两种情况：（1）1人1本，其余两人2本；先将5本书分成三份，再把这3份分给三个不同的人，则（2）1人3本，其余两人1本；先将5本书分成三份，再把这3分分给三个不同的人，则则一共有+种不同的分法点评：

2、在每一类中，都采用了先取元素分份，然后在将三份分给三个人的方法，即分堆问题的正确使用，同时体现了向基本类型转化的思路，此题若采用排除法过于复杂另解；转化为5个小球放入3个盒子，每个盒子至少有一个球的问题，则结果同上例2：从7名男生和5名女生中选出5人组成代表队，其中最多有3名男生，则不同的选法种数有多少？解析；被选出的5人中最多有3名男生，则出现4类：（1）3名男生和2名女生：（2）2名男生和3名女生：（3）1名男生和4名女生：（4）5名女生：则不同的选法共有：+++从7名男生和5名女生中选出5人共有中方法，不满足条件的情况有下列情况（1）4名男生和1名女生：（2）5

3、名男生：则不同的选法有——点评：当分类的次数少于不满足条件的类别时，可采用分类，否则可采用排除法，分类解决比较直接，而且在每一类中计算方便，排除法中要明确不满足条件的情况有几种，不可遗漏例3：从98件合格产品和2件次品中取出3件，至少有一件是次品的方法有多少种？解析：100件产品中总共有2件次品，则分两类解决（1）恰好有1件次品：（2）恰好有2件次品：则一共有+种不同的取法排除法：从100件产品中取出3件共有中取法，不满足条件的情况只有一种，即取出的3件产品中无次品：，则共有—种不同的取法下列做法是一种常见的错误：分两步完成这件事：（1）从2件次品中取出1件次品：（2

4、）把剩下的1件次品和98件合格品放在一起，从中取出2件产品：则共有中不同的取法点评：这种做法能够保证取出的3件产品中至少有一件次品，但出现了重复现象；把次品标为，合格品标为等，则先取和先取，然后取是一样的，出现重复问题时，有时能够排除，但有时重复的情况不容易排除，因此这种方法看似简单，能够完成这件事，但不正确,与此题类似的还有如下的问题相关连接：从5台“联想”计算机和4台“金长城”计算机中任选4台，其中既有“联想”又有“金长城”的不同取法种数为多少？错误解法：从5台“联想”计算机中取出1台，从4台“金长城”计算机中取出1台然后从剩余的7台计算机中任意取出2台，则结果为

5、：点评：设联想电脑为，金长城电脑为，则按照上述方法取出一种为：，与取出的重复，此题解决的基本方法是分类1）取出的4台中1台联想，3台金长城；2）取出的4台中2台联想，2台金长城；3）取出的4台中3台联想，1台金长城；则所求结果为；++例4：6个人排成一排，甲、乙两人中间至少有一个人的排法有多少种？解析：“甲、乙之间至少有一个人”，则此题可看成至少性问题，分类是解决至少性问题的基本方法，即：两人之间有一个人、有两个人、有三个人、有四个人，进而转化为相邻问题和不相邻问题来解决（1）两人之间有1个人：（2）两人之间有2个人：（3）两人之间有3个人：（4）两人之间有4个人：则

6、不同的排法种数共有+++点评：此种解法虽然分类较多，但在每一类中解决的方法都不是很难，可以使用，但如果对问题中的条件进一步理解：“甲、乙之间至少有一个人”的含义实质就是甲、乙两人不相邻，从而转化为不相邻问题，很简单就可以采用插空法来处理即：例5：设，（1）从集合M到集合M可以建立多少个映射？（2）可以建立多少个一一映射？（3）在由M到M的一一映射中，至少有两个数字与自身相对应的映射个数有多少个？解析：（1）首先要明确映射定义：一般的，设A，B是两个集合，对于集合A中的任何一个元素，按照某种对应法则，在集合B中有唯一的元素和它对应，则叫做从集合A到集合B的映射（2）建立

7、一个映射，需要把集合A中的每一个元素在集合B中找到对应的元素，因此要从集合A入手，也就是说有一个主次之分，不能从集合B入手，只要把集合A中的元素都安排好了，问题也就解决了，分步处理问题的方法解题过程：1）分步处理，共有个不同的影射2）分步处理，但不能对应同一个元素，有种不同的方法3）至少有两个数字与自身相对应，则分以下几类（1）只有两个数字与自身对应，则先选择这两个数字有种方法，安排这两个数字只有一种方法，其它的三个元素不能与自身相对应，则有两种方法，则共有种方法（2）恰好有三个元素与自身对应，剩下的两个元素只有一种对应方式，则为（3）恰好有四个元素