2017-2018学年高中数学人教b版必修5学案：3.1不等关系与不等式名师导航学案

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1、2017-2018学年人教B版高中数学必修5导学案3.1不等关系与不等式知识梳理1.比较两实数大小的理论依据a-b＞0a＞b;a-b=0a=b;a-b＜0a＜b.2.不等式的性质(1)对称性:a＞bb＜a.(2)传递性:a＞b,b＞ca＞c.(3)加法法则:a＞ba+c＞b+c.推论1:a+b＞ca＞c-b;推论2:a＞b,c＞da+c＞b+d.(4)乘法法则:a＞b,c＞0ac＞bc;a＞b,c＜0ac＜bc.推论1:a＞b＞0,c＞d＞0ac＞bd;推论2:a＞b,ab＞0;推论3:a＞b＞0an＞bn(n∈N+,n＞1).(5

2、)开方法则:a＞b＞0(n∈N+,n＞1).知识导学两个实数比较大小和他们的差之间的关系是不等式性质的基础,也是两个实数比较大小的根据.不等式的性质是本章的理论基础,要求准确理解,否则会成为百错之源.通过对性质的证明,认真体会逻辑推理的严谨性.要善于用简洁精确的数学符号语言表达和推证数学结论,理清知识之间的逻辑因果关系.疑难突破1.作差法和作商法的适用范围.剖析:作差法和作商法是比较实数大小或证明不等式的重要方法.一般的实数大小的比较都可以采用作差法,但是要考虑作差后与0的比较,通常要进行因式分解、配方或者其他变形操作,所以,作差后

3、必须容易变形到能看出与0的大小关系.作商法主要使用于那些能够判断出恒为正数的数或者式子,具有一定的局限性,作商后要与1进行比较,所以,作商后必须易于变成能与1比较大小的式子,此种方法主要使用于那些含有幂指数的数或式子大小的比较.例如,比较aabb与大小就可以使用作商法.在解决这些问题的时候,要根据题目的具体结构特点,选择其中一种合适的方法.如是和差的形式一般用作差法,乘除的形式一般用作商法.2.证明或比较实数大小的方法及注意事项.剖析:证明一个不等式和比较实数的大小一样,根据题目的特点可以有不同的证明方法.实数比较大小,可采用作差或

4、者作商法说明不等式两边的数或者式子的大小,从而得出结论.这里需要注意的是,使用作商法之前必须判断要证式子两边为正,才能进行下去.在证明不等式时还可以利用已经证明的结论,或者利用不等式的性质对不等式进行变形,使不等式变成简单易于比较大小的形式,再比较大小得出结论.需要注意的是,有些结论的递推是双向的,而有些是单向的,例如,不等式性质中的对称性就是双向的,而传递性就是单向的.在不等式两边同乘一个数或式子的时候,必须先判断要乘的数或式子的符号,决定相乘后是否改变符号.22017-2018学年人教B版高中数学必修5导学案有些不容易从正面证明

5、的不等式还可以采用反证法进行证明,它可以把难以从正面说明的问题转化为其反面进行说明.要注意不等式与函数的结合,函数的图象和性质是解决不等式问题的重要工具,尤其是函数的单调性.如:a＞ba3＞b3,可根据幂函数y=x3在R上是单调递增得到.2