重庆市杨家坪中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学Word版含解析.docx

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杨家坪中学高2024届高二下第一次月考数学试卷一、单选题1.若数列满足，，则数列的通项公式为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的定义和通项公式直接得出结果.【详解】因为，所以数列是等差数列，公差为1，所以.故选：B2.已知函数，若，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出，再利用导数的定义可得，进而代入求解即可【详解】因为，则，所以，故，故，解得故选：B.3.等比数列的前n项和，则（）A.B.2C.1D.【答案】A【解析】【分析】求出数列的通项公式，根据通项公式确定参数的值. 【详解】，当时，，因为是等比数列，所以，得，所以A正确.故选：A4.若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用函数在区间上的导函数为非负数，列不等式，解不等式即可求得的取值范围.【详解】由题意得，在区间上恒成立，即在区间上恒成立，又函数在上单调递增，得，所以，即实数的取值范围是.故选：B5.在数列中，，若，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据递推关系，求出数列的项，根据数列的周期性求解.详解】，，，，，，可以看出四个循环一次，故．故选：D6.已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式 恒成立，则实数a的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】将恒成立转化为的导函数大于1在上恒成立，即，然后求最值即可.【详解】因为，所以，即，因为恒成立，所以函数在上任意两点连线的斜率大于1，则的导函数大于1在上恒成立，所以，整理得，所以，因为二次函数开口向下，对称轴为，所以在上单调递减，所以.故选：A.7.借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来近似计算，例如：求，我们先求得在处的切线方程为，再把代入切线方程，即得，类比上述方式，则（）．A.1.00025B.1.00005C.1.0025D.10005【答案】A【解析】【分析】根据题意，设，求出切线，以直代曲计算即可.【详解】设，可得，， 曲线在点处的切线对应的函数为，因为与之间的距离比较小，在切点附近用切线代替曲线进行近似计算，，故选：A8.已知函数，若函数恰有5个零点，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】把函数零点问题转化为方程根的问题，转化为两函数的交点问题，再利用导数研究函数的大致图象进行求解判断.【详解】函数恰有5个零点等价于关于的方程有5个不同的实根．由，得或．因为，所以，由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减．因为，，当时，，当时，，所以可画出的大致图象： 由图可知有2个不同的实根，则有3个不同的实根，故，故A，C，D错误.故选：B.二、多选题9.下列正确的是（）A.B.数列的通项公式为，则110是该数列的第10项C.数列，0，4与数列4，0，是同一个数列D.若函数是偶函数，则导函数—定是奇函数【答案】BD【解析】【分析】根据求导公式可判断A；根据数列的通项公式求解可判断B；根据数列的定义可判断C；根据奇偶函数的定义结合复合函数求导，可判断D.【详解】对于A，，故A错误；对于B，令，解得或（舍去），即110是数列第10项，B正确；对于C，数列，0，4与数列4，0，中数字的排列顺序不同，故不是同一个数列，C错误；对于D，函数偶函数，函数定义域关于原点对称， 则，故，即，故导函数—定是奇函数，D正确，故选：BD10.等差数列的前n项和记为，若，，则成立的是（）A.B.C.的最大值是D.当且仅当时，【答案】BC【解析】【分析】根据等差数列的性质得到，再结合得到，即可判断A选项；根据和得到，的最大值为，即可判断BC选项；根据和等差中项的性质得到，即可判断D选项.【详解】因为，所以，即，又，所以，故A错；因为，所以数列为递减数列，又，所以，，的最大值为，故BC正确；，故D错.故选：BC.11.若函数在上有最小值，则实数a的值可能是（）.A.B.C.0D.1【答案】ABC【解析】【分析】利用导数研究函数的性质可得为函数的极小值点，为极大值点.根据题意可知函数的极小值点必在区间内，即且，解不等式组即可.【详解】令，解得，所以当时， 当时，所以为函数的极小值点，为函数的极大值点.因为函数在区间上有最小值，所以函数的极小值点必在区间内，即实数a满足，且.由，解得.不等，即，有，，所以，即.故实数a的取值范围是.故选：ABC.12.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数只有两个极值点B.方程有且只有两个实根，则的取值范围为C.方程共有4个根D.若，，则的最大值为2【答案】ACD【解析】【分析】对函数求导，利用导数研究函数的极值判断；分析函数的性质，借助图象判断；结合图象和函数的零点判断；由结合取最大值的x值区间判断D作答.【详解】对于，对求导得：，当或时，，当时，，即函数在，上单调递减，在上单调递增，因此，函数在处取得极小值，在处取得极大值，故选项正确； 对于，由选项知，作出曲线及直线，如图，要使方程有且只有两个实根，观察图象得当时，直线与曲线有2个交点，所以方程有且只有两个实根，则的取值范围为，故选项错误；对于，由得：，解得，令，则，结合图象方程有两解，，，所以或，因为，所以，所以方程有两解；又因为，结合图象可知：也有两解，综上：方程共有4个根，故选项正确；对于，因为，而函数在上单调递减，因此当时，，当且仅当，所以t的最大值为2，故选项正确.故选：CD【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.三、填空题 13.已知等比数列中，，等差数列中，，则数列的前项和等于___________【答案】【解析】【分析】由等比数列性质可得，求得，得到，再由等差数列的前项和，即可求解，得到答案.【详解】在等比数列中，满足，由等比数列的性质可得，即，所以，又由，所以所以数列的前项和，故答案为：.14.滑县木版画是河南安阳最传统的手工艺品，创始于明朝初期，距今已有六百多年的历史了，滑县木版画制作工艺考究，至今一直都是纯手工制作，颜色精细淡雅，色彩和谐，人物造型夸张，线条刚劲有力，极具当地的民俗特色．张华的伯伯制作滑县木版画并出售，寒假期间张华通过调研得知伯伯制作的A系列木版画的成本为30元/套，每月的销售量（单位：套）与销售价格x（单位：元/套）近似满足关系式，其中，则当A系列木版画销售价格定为__________元/套时，月利润最大．【答案】50【解析】【分析】根据题意可得月利润为，求导，利用导数判断函数单调性，进而可求最值点.【详解】设A系列木版画的月利润为，则，，可得，令，则，当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减，所以当时，利润取到极大值，也是最大值，即当A系列木版画销售价格定为50元/套时，月利润最大．故答案为：50.15.设函数在上存在导数，对于任意的实数，有，当时，，若，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】借鉴积分思想，可设，结合，易证为过原点的奇函数和减函数，分别列出和，将整体代换，对参数进行分类讨论即可求解.【详解】可设①，则，因为当时，，即，在上单减，②，联立①②可得，，所以在上单减，为奇函数.③，④，联立③④可得，即，所以，显然，当时，原不等式等价于，即，所以，解得，故；当时，原不等式等价于，即，所以，解得，故， 综上所述，实数的取值范围是故答案为：16.若数列满足，则称该数列为“切线-零点数列”，已知函数有两个零点1、2，数列为“切线-零点数列”，设数列满足，，，数列的前项和为，则________．【答案】【解析】【分析】根据二次函数的零点可求得的值，求出，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，进而可求得.【详解】因为有两个零点1、2，由韦达定理可得，解得，所以，，由题意可得，所以，又因为，所以，又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，故答案为：【点睛】本题的关键点在于由得到，再证明数列是首项为2，公比为2的等比数列. 四、解答题17.已知函数，且在点处的切线与平行．（1）求切线的方程；（2）求函数的单调区间和极值点．【答案】（1）（2）增区间，减区间，极小值点为2，无极大值点【解析】【分析】（1）求导，然后通过列方程求出的值，代入求出，利用点斜式可求出切线的方程；（2）令，求出单调区间，根据单调区间可得极值点.【小问1详解】由已知，在点处的切线与平行，，解得，，切线的方程为，即；【小问2详解】由（1）得，令，得，令，得，函数的单调增区间为，单调减区间为，极小值点为2，无极大值点.18.已知正项数列和为数列的前项和，且满足， （1）分别求数列和的通项公式；（2）将数列中与数列相同的项剔除后，按从条到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求．【答案】（1），；（2）11302．【解析】【分析】（1）由，利用得出数列的递推式，得数列是等差数列，求得后可得通项公式，再计算出；（2）先看数列中前100项内有多少项是中的项，从而可以确定中前100项的最后一项是中的第几项，其中含有中的多少项，从而求得．【详解】（1）因为，所以时，，两式相减得，，因为，所以，又，，所以，所以，，；（2），又，，因此，所以．【点睛】易错点睛：本题考查由求数列的通项公式，考查分组求和法．在应用公式求时要注意，即不包含，需另外计算，同样如果求得的是递推式，也要确认递推式是否是从开始的，否则需要要验证含有的项是否符合表达式．19.如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为菱形，，，E为CD的中点. （1）求证：平面平面PCD；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质定理得，再根据等腰三角形三线合一得，最后利用面面垂直的判定即可证明；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出平面PBC和平面PCD的法向量，根据二面角的空间向量求法即可得到答案.【小问1详解】∵平面ABCD，平面ABCD，∴，∵四边形ABCD为菱形，，∴是正三角形，∵E为CD的中点，∴，又，平面PCD，平面PCD，∴平面PCD，又平面PBE，∴平面平面PCD.【小问2详解】取AB的中点F，连接DF，易知为正三角形，，，，∵平面ABCD，平面，则DF、DC、DP两两垂直，如图，以D为原点，DF、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，∴，，设平面PBC的一个法向量为，则，，即，令，得，平面PCD的一个法向量为，∴，显然二面角的平面角为锐角，∴二面角的余弦值为.20.在数列中，，.（1）证明：数列为等比数列；（2）求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）对变形，代入中化简，由等比数列的概念即可证明；（2）由（1）得出的通项公式，代入中，整体利用分组求和，分组后差比相乘部分利用错位相减，即可求得的前项和.【小问1详解】证明：由，得，即， 又，所以，所以数列是以3为首项，为公比的等比数列.【小问2详解】由（1）可知，，所以，故，设数列的前项和为，数列的前项和为.所以数列的前项和，所以，，①，②由①-②得，所以，故数列的前项和.21.已知椭圆经过，两点．（1）求椭圆上的动点T到的最短距离；（2）直线AB与x轴交于点，过点M作不垂直于坐标轴且与AB不重合的直线l与椭圆交于C，D两点，直线AC，BD分别交直线于P，Q两点．求证：为定值．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】 【分析】(1)根据题意求出椭圆方程，再利用两点间的距离公式化简为函数最值问题求解；(2)首先利用直线AB的方程求出m=-2，再分别利用AC，BD的方程与椭圆方程联立方程组得出P，Q坐标，即可化简得到.【小问1详解】把、两点坐标代入得：，即，，即椭圆方程为：．设，则点T到的距离因为，所以当时，d有最小值，且，所以动点T到的最短距离为．【小问2详解】如图，因为，所以直线AB的方程为：．取得，，显然直线CD的斜率存在，设其方程为：，，，联立方程组：得：， 所以，，记直线AC的方程为：，令得：．记直线BD的方程为：，令得：，故为定值，定值为1．22.已知函数．（1）求函数的单调区间和最大值；（2）设函数有两个零点，证明：．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出导函数，分类讨论，研究单调性，求出最大值；（2）利用极值点偏移直接求解.【小问1详解】函数的定义域是.当时，恒成立，故在上单调递增，无最大值；当时，令，得；令，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为，．【小问2详解】，因为为的两个零点，所以，不妨设．因为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．又证明等价于证明，又因为在上单调递增，因此证明原不等式等价于证明，即要证明，即要证明，即恒成立．令，则，所以在上为减函数，所以，即在时恒成立，因此不等式恒成立，即．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值) 最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）利用导数证明不等式．