安徽省皖北县中联盟2023-2024学年高一下学期3月联考数学试卷 Word版含解析.docx

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2023~2024学年第二学期安徽县中联盟高一3月联考数学试题考生注意：1．满分150分，考试时间120分钟．2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．3．本卷命题范围：人教版必修第一册，必修第二册第六章结束．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据指数函数的单调性，结合集合交集的定义进行求解即可.【详解】由，因此，故选：B2.设向量，，则“”是“”成立的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先将等价化简为或，再判断解题即可.【详解】或，所以“”是“”成立的必要不充分条件.故选：B.第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示、判断是的什么条件、三角恒等变换化简，是中档题.3.单位圆上一点从出发，逆时针方向运动弧长到达点，则的坐标为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析】由题意得，从而得到，结合诱导公式求出答案.【详解】点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，所以， 所以， 其中，，即点的坐标为：．故选：D．4.《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（）A.B.C.D.120【答案】A【解析】【分析】根据扇形面积公式得到面积为120步，设出扇形圆心角，根据求出扇形圆心角.【详解】因为直径16步，故半径为步，（平方步），设扇形的圆心角为，则，即．故选：A第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司 5.将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则的值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的奇偶性，的取值范围，进而即可求得的值．【详解】由将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为为奇函数，则，得，又，则，，故选：B．6.已知函数，若，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，先判断函数的奇偶性和在上的单调性，再利用诱导公式，结合正切函数的单调性，即可求解.【详解】由函数，因为，所以函数为偶函数，令，其在上为单调递增函数，因为在上为单调递减函数，第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司 所以函数在上单调递减函数，令在上为单调递增函数，当时，可得且，根据对勾函数的性质，可得函数在上为单调递增函数，所以函数在上为单调递减函数，所以函数在上为单调递减函数，又由，，，根据单位圆图形易知，则，所以.故选：A.7.在矩形ABCD中，，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值为（）A.B.1C.2D.【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量的数量积，求出点，在计算结果即可.【详解】建立平面直角坐标系如图所示：由题意可知，，第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司 设，则，由，可得，所以，又，所以，故选：C.8.克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师．托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和．已知四边形是圆的内接四边形，且，．若，则圆的半径为（）A.4B.2C.D.【答案】B【解析】【分析】由托勒密定理求出，设圆的半径为，由正弦定理可得，即可得到，再根据及二倍角公式求出，即可求出，从而得解.【详解】解：由托勒密定理，得．因为，所以．设圆的半径为，由正弦定理，得．又，所以．因为，所以，因为，所以，所以，第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司 所以，则，故．故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列关系式成立的有（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】由正弦函数的值域可得A错误；由诱导公式可得B错误；由同角的三角函数关系可得C正确；由三角函数的值域可得D错误.【详解】A：由正弦函数的值域可得，故A错误；B：由诱导公式可知，故B正确；C：因为，所以，故C正确；D：因，所以，故D错误；故选：BC.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.是偶函数B.若恒成立，则的最大值为C.在上共有6个解D.在上单调递增【答案】ACD【解析】【分析】利用奇偶性定义判断可判断A；求出的值域可判断B；由可得，再根据的范围求解可判断C；根据符合函数的单调性可判断D.【详解】对于A，，，所以是偶函数，故A正确；第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司 对于B，时，，可得，若恒成立，则的最大值为，故B错误；对于C，若，则，可得，时，可得，即，由可得，所以在上共有6个解，故C正确；对于D，因为函数在上单调递增，所以在上单调递增，故D正确.故选：ACD.11.点O为所在平面内一点，则（）A.若，则点O为的重心B.若，则点O为的内心C.若，则点O为的垂心D.在中，设，那么动点O的轨迹必通过的外心【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算法则，结合三角形的重心、内心、垂心和外心的性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由点O为所在平面内一点，且，可得，则以为邻边作平行四边形，可得，且，设，根据平行四边形法则，可得为的中点，即为上的中线，同理可证：延长也过的中点，所以为的重心，所以A正确；第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司 对于B中，由向量表示方向的单位向量，表示方向的单位向量，可得四边形是菱形，则，因为，所以，即，即和共线，即是的角平分线，同理可得是的角平分线，即是的内心，所以B正确.对于C中，如图所示，取分别为的中点，根据向量的平行四边形法则，可得，因为，可得，所以，所以点在线段的垂直平分线上，所以点为的外心，所以C不正确；对于D中，由,第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司 因为，可得，即，设为的中点，可得，所以，即，且为的中点，所以动点O的轨迹必通过的外心，所以D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在中，点P在BC上，且，点Q是AC的中点，若，，则______，______．【答案】①.②.【解析】【分析】根据题意，结合和，利用向量的运算法则，即可求解.【详解】由向量，，在中，可得；在中，可得，又因为，可得.故答案为：；.13.设a，b为正实数，且满足，则的最小值是______．【答案】1【解析】第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司 【分析】将所求因式通分后利用基本不等式计算即可.【详解】，①因为a，b为正实数，且满足，所以，当且仅当时取等号，所以，所以①.故答案为：1.14.窗，古时亦称为牖，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为50cm的正方形，它是由四个全等的直角三角形和一个边长为10cm的小正方形EFGH拼接而成，则______．【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设与轴正方向的夹角为，表示出点坐标，再根据三点共线，得到，即可求出，再根据平面向量数量积的坐标运算计算可得；【详解】根据正方形的对称性，设其中心为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，设与轴正方向的夹角为，则，即，所以，因为三点共线，所以，即第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司 ，解得，所以，所以，所以，又为锐角，所以，所以；故答案：四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知.（1）若是第一象限角，求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先化简，再利用平方关系和商关系可求的值；（2）先利用诱导公式化简，再利用齐次式和正切值可得答案.【小问1详解】第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司 因为，所以，又，所以，因为是第一象限角，所以.【小问2详解】.16.已知向量，，，，（1）若，求的值；（2）若，，，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量平行的充要条件结合特殊三角函数值计算可得；（2）由向量垂直的充要条件结合三角函数值得到，再由向量的数量积和同角的三角函数关系得到的正余弦，最后结合角度关系和正弦展开式得到结果.【小问1详解】∵，，∴，（显然，否则与矛盾）∴．∵，∴．【小问2详解】第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司 ∵，，∴，（显然，否则与矛盾）∴．∵，∴．∵且，∴．∵，∴，∴．∴．17.给出以下三个条件：①直线，是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为，②，③对任意的，．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．已知函数，，______．（1）求的表达式；（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先进行三角恒等变换求出，再分别选三个条件，结合正弦函数的性质，分别求解，即可得出函数解析式；第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司 （2）首先根据三角函数的变换规律得到解析式，再由正弦函数的性质求出在区间上的单调性，求出区间端点函数值，依题意函数的图象与直线在区间上有且只有一个交点，即可求出参数的取值范围.【小问1详解】因为，若选条件①，直线，是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为，则，解得，则；若选条件②，则，则，，因此，，又，所以，则，若选条件③，对任意的，，则有，，解得，，又，所以当时，则．【小问2详解】将函数图象向右平移个单位得到，再将的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司 ．由，，解得，，即函数的单调递增区间为，，又，所以函数在上单调递增，则在上单调递减；因为，，，因为关于的方程在区间上有且只有一个实数解，所以函数的图象与直线在区间上有且只有一个交点，则或.18.在中，已知，，，AC边上的中线为BN，M为BC边上靠近B的四等分点，连接AM交BN于点P．（1）用与表示，并计算AM的长；（2）求∠NPM的余弦值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）方法一：根据平面向量线性运算与表示，并利用数量积运算求第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司 的模；方法二：以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，利用平面向量坐标运算求的模；（2）方法一：根据平面向量线性运算与表示，再利用平面向量夹角公式求解；方法二：利用平面向量坐标运算夹角.【小问1详解】方法一：M为BC边上靠近B的四等分点，∴．∵，∴，；∵，，，∴，∴，∴．方法二：以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，可得，，，∵AC边上的中线为BN，∴，∵M为BC边上靠近B的四等分点，可得．设，代入坐标可解得，且有．【小问2详解】方法一：∠NPM为向量与的夹角，所以，∵AC边上的中线为BN，∴，第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司 ∴，∴．∵，，∴，∴．方法二：∠NPM为向量与的夹角，所以，，，，，19.如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边BC，CD上的点，且；（1）求∠PAQ的大小；（2）求面积的最小值；（3）某同学在探求过程中发现PQ的长也有最小值，结合（2）他猜想“中PQ边上的高为定值”，他的猜想对吗?请说明理由．第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司 【答案】（1）（2）（3）该同学猜想正确，理由见解析【解析】【分析】（1）解法一首先由向量的平行四边形定则和向量的数量积得到，再由三角函数的定义得到，，最后再结合正切函数的诱导公式得到；方法二设，，由向量夹角的定义得到，在中再结合勾股定理和三角函数值求出；（2）由三角形的面积公式得到，再角度关系和二倍角公式及结合正弦函数的最值化简可得；（3）由三角形的面积公式得到，再由向量夹角的定义结合三角函数值得到，求出结果即可.【小问1详解】记，，则．（1）解法一：∵，∴，∴，∴，∵正方形ABCD的边长为1，∴，，在中，，，由，则，第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司 ∴，．∵，∴．解法二：．设，，则．在中，，即，．∵，∴．【小问2详解】，．∴，∵，∴．∵，∴当时，面积的最小值为．【小问3详解】设中PQ边上的高为h，由，得，．又∵，∴，且，∴，第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司 ∴，即为定值，该同学猜想正确.【点睛】关键点点睛：（1）在求三角形面积时除了常规公式外可用公式；（2）在已知角的正弦或余弦值求其余弦或正弦时，可用配凑法结合三角函数的诱导公式比较简便.第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司