重庆市第八中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题（艺术班） Word版含解析.docx

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重庆八中2021-2022学年高一（下）期末考试数学试卷（艺术班）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列统计中的数字特征，不能反映样本离散程度的是（）A.众数B.极差C.方差D.标准差【答案】A【解析】【分析】利用众数、极差、方差、标准差的定义直接求解．【详解】解：对于A，一组数据中出现次数最多的数值，叫众数，众数是一组数据中占比例最多的那个数，它不能能反映样本数据的离散程度大小，故A错误；对于B，极差表示一组数据最大值与最小值的差，极差越大数据越分散，极差越小数据越集中，故极差能反映样本数据的离散程度大小，故B正确；对于C，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，即方差能反映样本数据的离散程度大小，故C正确；对于D，标准差是方差的算术平方根，标准差也能反映样本数据的离散程度大小，故D正确．故选：A．2.已知向量，，，且，，则A.3B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，得到求出，再由向量模的坐标表示，即可得出结果.【详解】因为向量，，，且，，所以，解得：，即，，所以，因此.故选：B. 【点睛】本题主要考查求向量的模，熟记向量模的坐标表示，向量垂直的坐标表示，以及向量共线的坐标表示即可，属于常考题型.3.某商家2021年4月至7月的商品计划销售额和实际销售额如图表所示：则下列说法正确的是（）A.4月至7月的月平均计划销售额为22万元B.4月至7月的月平均实际销售额为27万元C.4月至7月的月实际销售额的数据的中位数为25D.这4个月内，总的计划销售额没有完成【答案】C【解析】【分析】A.B.利用平均数公式求解判断；C.利用中位数的定义求解判断；D.根据平均计划销售额和平均实际销售额大小比较判断.【详解】A.4月至7月的月平均计划销售额为，故错误；B.4月至7月的月平均实际销售额为，故错误；C.4月至7月的月实际销售额的中位数为，故正确；D.因为，可知这4个月内，总的计划销售额已经完成，故错误；故选：C.4.设椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于两点，则的值是A2B.C.4D. 【答案】C【解析】【详解】分析：设椭圆的右焦点为连接则四边形是平行四边形，根据椭圆的定义得到=2a得解.详解：设椭圆的右焦点为连接因为OA=OB,OF=O,所以四边形是平行四边形.所以,所以=|AF|+=2a=4,故答案为:C点睛：（1）本题主要考查椭圆的几何性质，意在考查学生对椭圆基础知识的掌握能力.(2)解答本题的关键是能观察到对称性，得到四边形是平行四边形，这一点观察到了，后面就迎刃而解了.5.如图在梯形中，，，设，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题中，由向量的线性运算，直接求解，即可得出结果.【详解】因为，，所以，又，，所以. 故选：D.【点睛】本题考查用基底表示向量，熟记平面向量基本定理即可，属于基础题型.6.已知两点，点在直线上，则的最小值为（）A.B.9C.D.10【答案】C【解析】【分析】根据给定条件求出B关于直线的对称点坐标，再利用两点间距离公式计算作答.【详解】依题意，若关于直线的对称点，∴，解得，∴，连接交直线于点，连接，如图，在直线上任取点C，连接，显然，直线垂直平分线段，则有，当且仅当点与重合时取等号，∴，故的最小值为.故选：C 7.已知某个正四棱台的上、下底面边长和高的比为，若侧棱长为，则该棱台的侧面积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设上底面边长为，则下底面边长为，高为，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出侧面等腰梯形的高为，最后根据梯形的面积公式可求出结果.【详解】设上底面边长为，则下底面边长为，高为，上底面正方形对角线长为，下底面正方形对角线长为，又侧棱长为，所以，解得，所以侧面等腰梯形的高为，所以该棱台的侧面积为.故选：A.8.已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（）．A.8B.9C.10D.11【答案】D【解析】【分析】首先根据题意得到若圆上存在点，使得，则以为直径的圆与圆有交点.从而得到圆与圆内切时，取得最大值，再求最大值即可.【详解】圆，圆心，半径.若圆上存在点，使得，则以为直径的圆与圆有交点.如图所示：当圆与圆内切时，取得最大值. .故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设复数，则（）A.B.z的虚部为2C.D.z在复平面内对应的点位于第三象限【答案】AD【解析】【分析】利用复数的除法化简复数，即可判断各选项的正误.详解】由，对应点位于第三象限，所以，z的虚部为-2，．故选：AD10.设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的有（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则 【答案】AC【解析】【分析】结合空间中直线与平面的位置关系进行判定，也可以通过举例说明命题错误.【详解】对于A，因为，所以，A正确；对于B，因为时，也可以平行，所以B错误；对于C，因为，所以，C正确；对于D，因为时，直线也可能在平面内，所以D错误；故选：AC.11.已知直线和圆，则下列说法正确的是（）．A.直线l恒过定点B.直线l与圆O相交C.当时，直线l被圆O截得的弦长为2D.直线l被圆O截得的最短弦的长度为【答案】BD【解析】【分析】把直线方程变形为，即可求出直线过的定点，从而判断选项A；根据定点在圆内，可判断选项B；把代入直线方程，根据直线过圆心，可求出弦长为直径，从而判断选项C；根据点为弦的中点时，直线l被圆O截得的弦最短，从而可判断选项D.【详解】直线整理得，故直线过定点，故A错误；由于点在圆O内，故直线l与圆O相交，B正确；当时，直线过圆心O，故直线l被圆O截得的弦为直径，其长为4，C错误；当点为弦的中点时，直线l被圆O截得的弦最短，此时的弦长为，故D正确．故选：BD．12.在边长为4的正方形中，如图1所示，，，分别为，，的中点，分别沿，及所在直线把，和折起，使，，三点重合于点 ，得到三棱锥，如图2所示，则下列结论中正确的是（）A.B.三棱锥的体积为4C.三棱锥外接球的表面积为D.过点平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】根据线面垂直可判断A；根据三棱锥的等体积法结合体积公式可判断B；求得三棱锥外接球的半径，即可求得外接球的表面积，判断C；将三棱锥补成长方体，确定最小截面为过点M垂直于球心O与M连线的圆，求得截面圆半径，即可得截面的面积，判断D.【详解】对于A：由题意知平面，所以平面，平面，所以，故A正确；对于B：,因为M为的中点，所以,故B错误；对于C：因为两两垂直，故三棱锥的外接球半径和长宽高分别为的长方体的外接球半径相等，故其外接球半径,故外接球表面积，故C正确；对于D：将三棱锥补成如图所示长方体，， 设长方体外接球球心为O，即为三棱锥的外接球球心过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面为圆，最小截面为过点M垂直于球心O与M连线的圆，,此时截面圆半径为此时截面圆的面积为，所以过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的最小值为，故D正确,故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高一年级的学生数为18，则抽取的样本容量为________.【答案】45【解析】【分析】计算出高一年级学生人数占全部年级人数比例，根据其抽取的人数，可求得结果.【详解】由题意得;高一年级学生人数占比为，故根据按年级用分层抽样的方法抽取若干人，抽取的高一年级的学生数为18，则抽取的样本容量为，故答案为：4514.已知非零向量满足，则与的夹角为__________.【答案】【解析】【分析】直接把两边同时平方化简即得解.【详解】因为，所以， 所以.所以与的夹角为.故答案为：15.在一个由三个元件构成的系统中，已知元件正常工作的概率分别是，，，且三个元件正常工作与否相互独立，则这个系统正常工作的概率为______．【答案】【解析】【分析】先求出都不工作的概率，可得至少有一个能正常工作的概率，继而求得这个系统正常工作的概率.【详解】由题意可知都不工作的概率为，所以至少有一个能正常工作的概率为，故这个系统正常工作的概率为，故答案为：16.过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为_____．【答案】【解析】【详解】试题分析：设A，B，则①，②，∵M是线段AB的中点，∴，∵直线AB的方程是，∴，∵过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C： （a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，∴①②两式相减可得，即．考点：椭圆的简单性质四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，．（1）求的大小；（2）求的面积【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理即可求解；（2）由三角形的内角和求得角，再由三角形的面积公式即可求解.【小问1详解】在中，，，，由正弦定理得即，所以，因为，所以，因为，所以【小问2详解】因为，所以，所以的面积为.18.如图，在正方体中，是的中点，是的中点. （1）求证：平面；（2）求证：.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）连接，易得，根据线面平行的判定定理即可得证；（2）根据正方体的结构特征可得，平面，则有，再根据线面垂直的判定定理可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证.【小问1详解】证明：连接，则与互相平分，因为是的中点，是的中点，所以点为的中点，所以，又平面，平面，所以平面；【小问2详解】证明：连接，在正方体中，，平面，因为平面，所以， 又，平面，所以平面，又平面，所以.19.2022年4月16日，神舟13号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，这趟神奇之旅意义非凡，尤其是“天宫课堂”在广大学生心中引起强烈反响，激起了他们对太空知识的浓厚兴趣．某中学在进行太空知识讲座后，从全校学生中随机抽取了200名学生进行笔试，并记录下他们的成绩，将数据分成6组，并整理得到如下频率分布直方图（1）求这部分学生成绩的中位数、平均数（同组数据用该组区间的中点值作代表）；（2）为了更好的了解学生对太空知识的掌握情况，学校决定在成绩高的第组中用分层抽样的方法抽取5名学生，进行第二轮面试，最终从这5名学生中随机抽取2人参加市太空知识竞赛，求90分（包括90分）以上的同学恰有1人被抽到的概率．【答案】（1），（2）【解析】 【分析】（1）根据频率直方图按照中位数和平均数的计算方法即可求得答案；（2）确定第组中的人数，从而求得5名学生中每组抽取的人数，列举出抽取两人的所有情况，根据古典概型的概率公式即可求得答案.【小问1详解】设中位数为x,平均数为,因为前三个矩形面积为，故，解得；.【小问2详解】人，人,即第五组有30人，第六组有20人,人，人，即需从第五组抽取3人，从第六组抽取两人,设从抽取的5人中抽取2人，设五组的三人为，第六组的两人为,则共有抽法为，共10种，其中恰有一人得分为90及以上的抽法有6种，故90分（包括90分）以上的同学恰有1人被抽到的概率．20.已知圆C的圆心C在直线上，且圆C过，两点，（1）求圆C的标准方程；（2）过点作圆C的切线l，求切线l的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）求出线段的中垂线方程，和直线，即求得圆心坐标，接着求得半径，可得答案；（2）设切线的方程，利用圆心到切线的距离等于半径，即可求得答案.【小问1详解】∵，∴线段的中垂线斜率为. 又线段的中点为，∴线段的中垂线方程为，即.由可得,即，∴半径为，∴圆C的标准方程为.【小问2详解】由题知，切线l的斜率存在，设切线l的斜率为k，则，即.∴，解得，,∴l的方程为或.21.如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且.（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A−PB−C的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【详解】（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD．由于AB//CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD．又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．（2）在平面内作，垂足为，由（1）可知，平面，故，可得平面. 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）及已知可得，，，.所以，，，.设是平面的法向量，则即可取.设是平面的法向量，则即可取.则，所以二面角的余弦值为.【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角； ③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.22.已知椭圆的离心率，左右焦点分别为，点在椭圆S上，过的直线l交椭圆S于A，B两点.（1）求椭圆S标准方程；（2）求的面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知条件，列出关于的方程组，求解方程组即可得答案；（2）设，联立椭圆方程，由韦达定理及求出的面积，然后利用均值不等式即可求出的面积的最大值.【小问1详解】解：设椭圆S半焦距为，由题意解得∴椭圆S的标准方程为；【小问2详解】解：由（1）得，设，代入，得，设，则， ∴，∴，当且仅当即时，等号成立，故的面积的最大值为.